Tema 13: Representación en el Espacio de Estados y Conversión de Modelos

Desarrollo Teórico

La representación en el espacio de estados es la piedra angular de la teoría de control moderna. A diferencia del enfoque clásico basado en la función de transferencia (que describe el comportamiento externo de entrada-salida bajo condiciones iniciales nulas), el espacio de estados proporciona una descripción interna completa del sistema mediante un conjunto de ecuaciones de primer orden acopladas.

1. Ecuaciones del Espacio de Estados Continuo LTI

Un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) se describe mediante el siguiente par de ecuaciones matriciales:

$$\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)$$
$$y(t) = C x(t) + D u(t)$$

Donde:

• $x(t) \in \mathbb{R}^n$ es el vector de estados, que contiene las variables internas necesarias para predecir el comportamiento futuro del sistema.
• $u(t) \in \mathbb{R}^m$ es el vector de entradas (señales manipuladas).
• $y(t) \in \mathbb{R}^p$ es el vector de salidas (variables medidas).
• $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ es la matriz del sistema (o de evolución dinámica).
• $B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ es la matriz de entrada (o de acoplamiento de control).
• $C \in \mathbb{R}^{p \times n}$ es la matriz de salida (o de observación).
• $D \in \mathbb{R}^{p \times m}$ es la matriz de transmisión directa (típicamente cero en sistemas físicos reales).

2. Conversión entre Función de Transferencia y Espacio de Estados

• De Espacio de Estados a Función de Transferencia:
  Tomando la transformada de Laplace de las ecuaciones de estado con condiciones iniciales nulas:
  $$s X(s) = A X(s) + B U(s) \implies (sI - A) X(s) = B U(s) \implies X(s) = (sI - A)^{-1} B U(s)$$
  Sustituyendo en la ecuación de salida:
  $$Y(s) = C X(s) + D U(s) = [C (sI - A)^{-1} B + D] U(s)$$
  Por lo tanto, la matriz de transferencia $G(s)$ se obtiene como:
  $$G(s) = C (sI - A)^{-1} B + D = \frac{C \text{adj}(sI - A) B}{\det(sI - A)} + D$$
  Nota: Los polos de la función de transferencia son idénticos a los valores propios de la matriz $A$, calculados mediante la ecuación característica $\det(sI - A) = 0$.

• De Función de Transferencia a Espacio de Estados:
  La representación en espacio de estados no es única. Una misma función de transferencia puede representarse en múltiples formas canónicas:

  • Forma Canónica Controlable (FCC): Útil para el diseño de asignación de polos por realimentación de estados.
  • Forma Canónica Observable (FCO): Útil para el diseño de observadores de estado.
  • Forma Canónica Diagonal / Jordan: Donde la matriz $A$ es diagonal, revelando los modos dinámicos desacoplados del sistema.

Ejemplo Interactivo con Python

Se modela y simula la dinámica de un sistema físico de segundo orden (masa-resorte-amortiguador) con parámetros físicos nominales $m = 1\text{ kg}$, $b = 1.5\text{ N·s/m}$ y $k = 4\text{ N/m}$. Al definir las variables de estado como la posición ($x_1 = q$) y la velocidad ($x_2 = \dot{q}$), las matrices de estado resultantes son:

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -4 & -1.5 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}$$

A continuación, se presenta el gráfico interactivo con las trayectorias temporales de ambos estados calculadas con precisión científica mediante simulación numérica de las ecuaciones matriciales de primer orden:

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1

Dada la representación en espacio de estados de un sistema LTI:
$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 3 \end{bmatrix}, \quad D = [0]$$
Calcule la función de transferencia equivalente $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$.

Solución:

1. Hallamos el término fundamental $(sI - A)$:
   $$sI - A = s \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 6 & s+5 \end{bmatrix}$$
2. Calculamos la matriz inversa $(sI - A)^{-1}$:
   $$\det(sI - A) = s(s+5) - (-1)(6) = s^2 + 5s + 6$$
   $$\text{adj}(sI - A) = \begin{bmatrix} s+5 & 1 \\ -6 & s \end{bmatrix}$$
   $$(sI - A)^{-1} = \frac{1}{s^2 + 5s + 6} \begin{bmatrix} s+5 & 1 \\ -6 & s \end{bmatrix}$$
3. Multiplicamos matricialmente $C (sI - A)^{-1} B$:
   $$(sI - A)^{-1} B = \frac{1}{s^2 + 5s + 6} \begin{bmatrix} s+5 & 1 \\ -6 & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{s^2 + 5s + 6} \begin{bmatrix} 2 \\ 2s \end{bmatrix}$$
   $$G(s) = C \left[ (sI - A)^{-1} B \right] = \begin{bmatrix} 1 & 3 \end{bmatrix} \left[ \frac{1}{s^2 + 5s + 6} \begin{bmatrix} 2 \\ 2s \end{bmatrix} \right] = \frac{1 \cdot 2 + 3 \cdot (2s)}{s^2 + 5s + 6} = \frac{6s + 2}{s^2 + 5s + 6}$$

Respuesta: La función de transferencia del sistema es $G(s) = \frac{6s + 2}{s^2 + 5s + 6}$.

Ejercicio 2

Obtenga la representación en el espacio de estados en Forma Canónica Controlable (FCC) de la siguiente función de transferencia de tercer orden:
$$G(s) = \frac{5s + 8}{s^3 + 4s^2 + 6s + 12}$$

Solución:
Para una función de transferencia estándar de la forma:
$$G(s) = \frac{b_1 s^2 + b_2 s + b_3}{s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3}$$
La Forma Canónica Controlable se escribe directamente de forma sistemática a partir de los coeficientes del numerador y el denominador:
$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_3 & -a_2 & -a_1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$
$$C = \begin{bmatrix} b_3 & b_2 & b_1 \end{bmatrix}, \quad D = [0]$$
Comparando coeficientes de nuestro sistema ($a_1 = 4$, $a_2 = 6$, $a_3 = 12$, $b_1 = 0$, $b_2 = 5$, $b_3 = 8$):
$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -12 & -6 & -4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$
$$C = \begin{bmatrix} 8 & 5 & 0 \end{bmatrix}, \quad D = [0]$$

Respuesta: Las matrices anteriores representan la FCC exacta del sistema de tercer orden.

Ejercicio 3

Determine el modelo en espacio de estados para un circuito eléctrico RLC paralelo excitado por una fuente de corriente de entrada $i_{in}(t)$. Suponga que la salida es el voltaje del condensador $v_c(t)$.

Solución:
Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff en el nodo de voltaje común $v(t) = v_c(t)$:
$$i_{in}(t) = i_R(t) + i_L(t) + i_C(t) = \frac{v(t)}{R} + i_L(t) + C \frac{dv(t)}{dt}$$
La ecuación para el inductor es:
$$v(t) = L \frac{di_L(t)}{dt}$$
Definimos las variables de estado correspondientes a los elementos almacenadores de energía:

• $x_1(t) = v(t)$ (Voltaje en el capacitor)
• $x_2(t) = i_L(t)$ (Corriente en el inductor)

Despejando las derivadas de estado de primer orden:

1. De la ecuación del capacitor:
   $$\dot{x}_1 = \frac{dv}{dt} = -\frac{1}{RC} v - \frac{1}{C} i_L + \frac{1}{C} i_{in} = -\frac{1}{RC} x_1 - \frac{1}{C} x_2 + \frac{1}{C} u$$
2. De la ecuación del inductor:
   $$\dot{x}_2 = \frac{di_L}{dt} = \frac{1}{L} v = \frac{1}{L} x_1$$

Escribiendo en notación matricial con salida $y(t) = v(t) = x_1$:
$$\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{RC} & -\frac{1}{C} \\ \frac{1}{L} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{C} \\ 0 \end{bmatrix} u(t)$$
$$y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$

Ejercicio 4

Un sistema dinámico lineal tiene los siguientes valores propios en su matriz del sistema: $\lambda_1 = -2$, $\lambda_2 = -3 + 4j$, y $\lambda_3 = -3 - 4j$. Determine la estabilidad interna del sistema y describa el tipo de trayectoria dinámica libre del estado en el espacio de fase.

Solución:

1. Estabilidad: Un sistema en el espacio de estados es internamente estable si y solo si todos los valores propios de su matriz $A$ tienen parte real estrictamente negativa.

   • $\text{Re}(\lambda_1) = -2 < 0$
   • $\text{Re}(\lambda_2) = -3 < 0$
   • $\text{Re}(\lambda_3) = -3 < 0$
     Como todos los valores propios están localizados en el semiplano izquierdo del plano complejo, el sistema es asintóticamente estable.

2. Trayectoria en el espacio de fase:

   • El valor propio real $\lambda_1 = -2$ introduce un modo de decaimiento exponencial puro (estable, tipo nodo).
   • El par conjugado complejo $\lambda_{2,3} = -3 \pm 4j$ representa un comportamiento oscilatorio amortiguado (tipo foco o espiral estable).
   • Por ende, cualquier estado inicial desplazado del origen trazará una trayectoria en espiral tridimensional que decaerá suave y asintóticamente hasta converger en el origen del espacio de fase $([0, 0, 0]^T)$.

Ejercicio 5

Dada la matriz de estado de un sistema dinámico:
$$A = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}$$
Determine los valores propios del sistema y demuestre que para matrices triangulares los valores propios se localizan directamente en la diagonal principal.

Solución:
Los valores propios se calculan como las raíces del polinomio característico $\det(\lambda I - A) = 0$:
$$\det(\lambda I - A) = \det \begin{bmatrix} \lambda + 2 & -3 \\ 0 & \lambda + 5 \end{bmatrix} = 0$$
Dado que es una matriz triangular (el elemento inferior izquierdo es cero), el determinante es simplemente el producto de los términos de la diagonal:
$$\det(\lambda I - A) = (\lambda + 2)(\lambda + 5) = 0 \implies \lambda_1 = -2, \quad \lambda_2 = -5$$
Este resultado demuestra formalmente el teorema: para cualquier matriz triangular (superior o inferior) o diagonal, el determinante característico se simplifica al producto de sus factores diagonales, localizando los valores propios en los elementos de la diagonal principal.

Ejercicio 6

Determine la representación en espacio de estados en Forma Canónica Observable (FCO) para el sistema definido por:
$$G(s) = \frac{s + 3}{s^2 + 7s + 10}$$

Solución:
Para un sistema general de segundo orden de la forma $G(s) = \frac{b_1 s + b_2}{s^2 + a_1 s + a_2}$, la FCO sistemática se define como:
$$A = \begin{bmatrix} 0 & -a_2 \\ 1 & -a_1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_2 \\ b_1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}$$
Identificando los coeficientes de nuestro sistema ($a_1 = 7$, $a_2 = 10$, $b_1 = 1$, $b_2 = 3$):
$$A = \begin{bmatrix} 0 & -10 \\ 1 & -7 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$$
$$C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = [0]$$

Ejercicios Propuestos

1. Convierta el sistema representado por las siguientes matrices a su correspondiente función de transferencia $G(s)$:
   $$A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 0 & 5 \end{bmatrix}$$
   [Respuesta: G(s) = 10 / (s^2 + 4s + 3)]

2. Plantee las matrices del espacio de estados para un sistema térmico de una habitación donde el calentador aporta calor $u(t)$, la capacitancia térmica de la habitación es $C_h$, la resistencia de aislamiento térmico de las paredes es $R$ y la temperatura exterior es cero.
   [Respuesta: A = -1/(R*Ch), B = 1/Ch, C = 1, D = 0]

3. Deduzca la Forma Canónica Controlable del siguiente sistema dinámico:
   $$G(s) = \frac{s^2 + 2s + 3}{s^3 + 9s^2 + 23s + 15}$$
   [Respuesta: A = [[0, 1, 0], [0, 0, 1], [-15, -23, -9]], B = [[0], [0], [1]], C = [[3, 2, 1]]]

4. Para un péndulo rotacional simple no amortiguado, la ecuación de movimiento es $J \ddot{\theta} + m g L \theta = 0$. Defina las variables de estado y plantee las matrices de estado continuas.
   [Respuesta: A = [[0, 1], [-mgL/J, 0]], B = [[0], [1/J]], C = [[1, 0]]]

5. Encuentre el polinomio característico y los valores propios de la matriz del sistema:
   $$A = \begin{bmatrix} -4 & 1 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}$$
   [Respuesta: P(lambda) = lambda^2 + 7*lambda + 10 = 0; lambda_1 = -2, lambda_2 = -5]

6. Explique conceptualmente la diferencia física y el significado matemático de un estado físico frente a una salida de medición directa de un sensor.
   [Respuesta: El estado contiene toda la energía acumulada del sistema; la salida es solo una proyección medible por sensores]

7. Demuestre que si un sistema LTI dinámico se somete a una transformación de similitud $z = T x$, la función de transferencia del sistema permanece matemáticamente invariante.
   [Respuesta: Gz(s) = C*T*(sI - T^-1*A*T)^-1 * T^-1*B = C*(sI-A)^-1*B = Gx(s)]

8. Un sistema masa-resorte-amortiguador acoplado de dos masas tiene un espacio de estados de dimensión $n$. Identifique cuántas variables de estado son requeridas para describir completamente el sistema físico.
   [Respuesta: n = 4 (dos posiciones y dos velocidades)]

9. Convierta el sistema dado en la Forma Canónica Controlable a la Forma Canónica Diagonal utilizando autovectores, para las matrices:
   $$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}$$
   [Respuesta: Lambda = [[-1, 0], [0, -2]]]

10. Plantee las matrices del espacio de estados para un motor de corriente continua (DC) donde la corriente de armadura $i_a(t)$ y la velocidad angular $\omega(t)$ son las variables de estado y el voltaje de entrada es $v_a(t)$.
    [Respuesta: A = [[-Ra/La, -Kb/La], [Kt/J, -B/J]], B = [[1/La], [0]], C = [[0, 1]]]

Muestreo y Retención de Datos

Muestreo

Proceso de tomar valores cada \(T_s\):
$$ y[k] = y(kT_s) $$

Teorema de Nyquist

$$ f_s \geq 2 f_{\max} $$

Retención (ZOH)

El D/A mantiene constante el valor:
$$ u(t) = u[k], \quad kT_s \le t < (k+1)T_s $$

Ejemplo numérico (aliasing)

Señal: \(x(t)=\sin(2\pi f t)\), con \(f=5\ \text{Hz}\).

• Caso 1: \(f_s=20\ \text{Hz}\) → sin aliasing.
• Caso 2: \(f_s=8\ \text{Hz}\) → aliasing a 3 Hz.

Muestras:
$$ x[n] = \sin(2\pi f n T_s) $$

Para \(f=5\ \text{Hz}, f_s=8\ \text{Hz}, T_s=0.125\):
$$ x[n] = \sin(1.25\pi n) $$

MATLAB

f=5; t=0:1e-4:0.5; x=sin(2*pi*f*t);
fs1=20; Ts1=1/fs1; n1=0:Ts1:0.5; x1=sin(2*pi*f*n1);
fs2=8;  Ts2=1/fs2; n2=0:Ts2:0.5; x2=sin(2*pi*f*n2);
subplot(2,1,1); stem(n1,x1); title('fs=20 Hz');
subplot(2,1,2); stem(n2,x2); title('fs=8 Hz');