Cursos>Métodos Numéricos

Aula A

Presentación del curso

La asignatura corresponde al área de estudios específicos, siendo de carácter obligatorio y de naturaleza teórico – práctico, que conozcan los fundamentos de la teoría de errores y la aplicación de algoritmo en el diseño de los modelos matemáticos. Tiene como propósito que los estudiantes serán capaces de analizar y diseñar modelos matemáticos para su aplicación en carreras de ingeniería. Tiene como contenido: Análisis de errores y programación, método de soluciones lineales y no lineales, diferenciación e integración numérica.

Enlaces de interés

Libro

Visualizaciones

Estudiantes totales

Estudiantes actuales

Presentación de la Unidad

Bienvenido a esta unidad. Aquí encontrarás toda la información y recursos necesarios para tu aprendizaje.

Aproximaciones y Errores de Redondeo

📌 Cifras Significativas

Las cifras significativas son los dígitos de un número que contienen información confiable sobre la precisión de la medida.
No son simples números: nos indican qué tan exacto es un resultado.

🔹 1. ¿Qué es una cifra significativa?

Todos los números seguros más el primer número incierto.
Se cuentan de izquierda a derecha desde el primer dígito distinto de cero.

Ejemplos:

327.5 → tiene 4 cifras significativas.
0.00456 → tiene 3 cifras significativas (los ceros a la izquierda no cuentan).
2.340 → tiene 4 cifras significativas (el cero final cuenta porque está después del punto decimal).

🔹 2. Reglas generales

✅ Reglas para contar

Todos los dígitos diferentes de cero son significativos.
- Ej: 2456 → 4 cifras.
Los ceros entre dígitos diferentes de cero son significativos.
- Ej: 3007 → 4 cifras.
Los ceros a la izquierda NO son significativos.
- Ej: 0.0053 → 2 cifras.
Los ceros a la derecha del número son significativos solo si hay punto decimal.
- Ej: 400 → puede tener 1, 2 o 3 cifras (depende del contexto).
- Ej: 400. → 3 cifras (el punto indica que son significativos).
- Ej: 4.00 → 3 cifras (porque los ceros a la derecha de la coma cuentan).

🔹 3. Ejemplos de conteo

12.34 → 4 cifras significativas.
0.00123 → 3 cifras significativas.
12000 → puede ser 2, 3, 4 o 5 cifras (según si se escribe 1.2 × 10⁴, 1.20 × 10⁴, etc.).
0.004500 → 4 cifras significativas (el cero final después de la coma cuenta).

🔹 4. Operaciones con cifras significativas

➕ y ➖ (suma y resta)

El resultado se expresa con la misma precisión decimal que el número menos preciso.

Ejemplo:
12.11 + 18.0 + 1.013 = 31.123 → se redondea a 31.1 (porque 18.0 tiene solo 1 decimal)

✖️ y ➗ (multiplicación y división)

El resultado se expresa con el número de cifras significativas del dato con menos cifras.

Ejemplo:
4.56 (3 cifras) × 1.4 (2 cifras) = 6.384 → se redondea a 6.4 (2 cifras)

🔹 5. Notación científica

Se usa para evitar dudas con los ceros.

45000 puede ser:
- 4.5 × 10⁴ (2 cifras)
- 4.50 × 10⁴ (3 cifras)
- 4.500 × 10⁴ (4 cifras)

🔹 6. Casos especiales

Números exactos (conteo o definidos):
- Ej: 12 estudiantes, 1 hora = 60 min.
- Se consideran con cifras infinitas (no limitan la precisión).
Constantes físicas definidas:
- Ej: c = 299 792 458 m/s (definida por convención, no por medida).

🔹 7. Ejemplos completos

Conteo directo:

0.00320 → 3 cifras significativas (3, 2 y el 0 final porque está después de la coma).

Suma:

123.45 + 0.61 = 124.06 → resultado con 2 decimales → 124.06
123.45 + 0.6 = 124.05 → resultado con 1 decimal → 124.1

Multiplicación:

0.00456 (3 cifras) × 123.4 (4 cifras) = 0.562...
→ redondear a 3 cifras → 0.562

División:

456 (3 cifras) ÷ 13 (2 cifras) = 35.0769...
→ redondear a 2 cifras → 35

Combinado:

Numerador: 30.11 → 30.1 (1 decimal)
30.1 ÷ 1.013 = 29.71 → redondear a 3 cifras → 29.7

📌 En resumen

Primero aprendes a contar cifras significativas.
Luego aplicas las reglas de operaciones:
- Suma/resta → decimales.
- Multiplicación/división → número de cifras.
Para evitar ambigüedad: usa notación científica.

Canva

Serie de Taylor y errores de truncamiento

📘 Serie de Taylor

🔹 1. Desarrollo conceptual

La Serie de Taylor es una herramienta matemática que permite aproximar funciones mediante polinomios construidos a partir de sus derivadas en un punto dado.

La idea es que si una función es suficientemente derivable, entonces se puede "reconstruir" con un polinomio infinito alrededor de un punto $a$.

Intuición:

Una recta tangente aproxima la función usando solo la primera derivada.
Si añadimos la segunda derivada, ajustamos también la curvatura.
Con más términos, el polinomio se vuelve cada vez más parecido a la función.

Esto es esencial en física, ingeniería y computación, donde muchas veces no podemos trabajar con funciones exactas, pero sí con polinomios.

🔹 2. Formulación matemática

La Serie de Taylor de $f(x)$ alrededor de un punto $a$ es:

\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \] En forma general: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]

📌 Si el punto es $a=0$, se llama Serie de Maclaurin:

\[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots \]

🔹 3. Importancia del error de truncamiento

Cuando usamos un número finito de términos, aparece el error de truncamiento, que mide cuánto nos alejamos del valor exacto.

El error se puede acotar con el resto de Lagrange:

\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, \quad \xi \in (a, x) \] Esto nos da confianza en la aproximación. --- ## 🔹 4. Ejercicios desarrollados ### Ejercicio 1: Serie de Maclaurin de $e^x$ hasta 3 términos Sabemos que: \[ f(x) = e^x, \quad f^{(n)}(0) = 1 \; \forall n \]

Entonces: \[ e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} \]

Para $x=0.1$: \[ e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105 \] Valor real: $1.105170...$ → error $= 0.00017$. --- ### Ejercicio 2: Serie de Maclaurin de $\sin(x)$ hasta orden 5 Derivadas: \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

Aproximación hasta 5° orden: \[ \sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \]

En $x=0.2$: \[ \sin(0.2) \approx 0.2 - \frac{0.008}{6} + \frac{0.00032}{120} = 0.19867 \] Valor real: $0.19867$ → error mínimo.

Ejercicio 3: Serie de Maclaurin de $\cos(x)$ hasta orden 4 \[

\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \] Hasta orden 4: \[ \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \] En $x=0.3$: \[ \cos(0.3) \approx 1 - 0.045 + 0.0003375 = 0.95534 \] Valor real: $0.95534$ → excelente. --- ### Ejercicio 4: Aproximación de $\ln(1+x)$ hasta orden 3 \[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \]

Para $x=0.1$: \[ \ln(1.1) \approx 0.1 - 0.005 + 0.000333 = 0.0953 \] Valor real: $0.09531$.

Ejercicio 5: Aproximación de $\frac{1}{1-x}$ hasta orden 4 \[

\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots \quad (|x| < 1) \]

Para $x=0.2$: \[ \frac{1}{1-0.2} \approx 1 + 0.2 + 0.04 + 0.008 + 0.0016 = 1.2496 \] Valor real: $1.25$.

Ejercicio 6: Aproximación de $\arctan(x)$ hasta orden 5 \[

\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots \] Para $x=0.5$: \[ \arctan(0.5) \approx 0.5 - \frac{0.125}{3} + \frac{0.03125}{5} = 0.4635 \] Valor real: $0.4636$. --- ## 🔹 5. Ejercicios propuestos 1. Expande $e^x$ en serie de Taylor alrededor de $a=1$ hasta el tercer orden. 2. Encuentra la aproximación de $\ln(1+x)$ en $x=0.5$ usando 4 términos.
3. Calcula la serie de Maclaurin de $\cos(x)$ hasta orden 6 y evalúa en $x=0.1$. 4. Aproxima $\sin(x)$ en $x=0.5$ usando 3 términos de la serie de Taylor en $a=0$.
5. Usa la serie de $\frac{1}{1+x}$ para estimar $\frac{1}{1.2}$ con 4 términos.
6. Calcula la serie de Maclaurin de $\arctan(x)$ hasta orden 7 y evalúa en $x=0.3$. 7. Aproxima $e^{-x}$ en $x=0.2$ usando 4 términos de Maclaurin. 8. Encuentra el polinomio de Taylor de segundo orden para $f(x)=\sqrt{1+x}$ en $a=0$.
9. Expande $\ln(x)$ alrededor de $a=2$ hasta segundo orden. 10. Usa la serie de Maclaurin de $\cos(x)$ para aproximar \(\cos(1)) con 4 términos.

✅ Conclusiones

La Serie de Taylor convierte funciones en polinomios para facilitar cálculos.
La precisión mejora con más términos.
El error de truncamiento mide la diferencia respecto al valor real.
Es la base de métodos numéricos y aplicaciones en física, ingeniería y computación.

Raíces de ecuaciones: Métodos cerrados

Sesión – Raíces de Ecuaciones: Métodos Cerrados

Objetivos de aprendizaje

Comprender el concepto de raíz de una función $f(x) = 0$.
Conocer el Teorema del Valor Medio.
Aplicar el método de Bisección.
Aplicar el método de Falsa Posición (Regula Falsi).
Implementar los métodos en MATLAB y Python.

1. Métodos Cerrados y Teorema del Valor Medio

Concepto de raíz

Una raíz de $f(x) = 0$ es un número $r$ tal que $f(r) = 0$.

Ejemplos prácticos:

Determinar caudales críticos en hidráulica.
Puntos de equilibrio en dinámica poblacional.
Tensiones críticas en estructuras.

Teorema del Valor Medio

El Teorema del Valor Medio establece:

Si $f(x)$ es continua en $[a, b]$ y $f(a) \cdot f(b) < 0$, > entonces existe al menos una raíz $r$ en el intervalo $(a, b)$. Los **métodos cerrados** parten de un intervalo inicial $[a, b]$ donde la función cambia de signo. --- ## 2. Método de la Bisección ### Idea 1. Se parte de un intervalo $[a, b]$ con $f(a) \cdot f(b) < 0$. 2. Se calcula el punto medio: $$ c = \frac{a + b}{2} $$ 3. Se evalúa $f(c)$:
Si $f(a) \cdot f(c) < 0$, la raíz está en $[a, c]$. - Si $f(c) \cdot f(b) < 0$, la raíz está en $[c, b]$.
Se repite hasta que el intervalo sea suficientemente pequeño.

Error de aproximación

Después de $n$ iteraciones: $$ E_n \le \frac{|b - a|}{2^n} $$

Ejemplo

Resolver $f(x) = x^3 - x - 2$ en $[1, 2]$.

$f(1) = -2,\ f(2) = 4$ → hay cambio de signo. - $c_1 = (1 + 2)/2 = 1.5,\ f(1.5) = -0.125$ → raíz está en [1.5, 2].
$c_2 = (1.5 + 2)/2 = 1.75,\ f(1.75) = 1.609$ → raíz está en [1.5, 1.75]. - Se continúa hasta el error deseado. --- ### Código en MATLAB ```matlab f = @(x) x^3 - x - 2; a = 1; b = 2; tol = 1e-5; while (b - a)/2 > tol c = (a + b)/2; if f(a) * f(c) < 0 b = c; else a = c; end end fprintf('Raíz aproximada: %.5f\n', c);

Código en Python

def f(x):
    return x**3 - x - 2

a, b = 1, 2
tol = 1e-5

while (b - a)/2 > tol:
    c = (a + b)/2
    if f(a) * f(c) < 0:
        b = c
    else:
        a = c

print(f"Raíz aproximada: {c:.5f}")

3. Método de la Falsa Posición (Regula Falsi)

Idea

Similar al de bisección, pero el nuevo punto se obtiene de la intersección de la recta secante con el eje x:

$$ c = \frac{a \ f(b) - b \ f(a)}{f(b) - f(a)} $$

Tiende a converger más rápido que la bisección cuando la función es aproximadamente lineal.

Ejemplo

Resolver $f(x) = x^3 - x - 2$ en $[1, 2]$.

$f(1) = -2,\ f(2) = 4$ → cambio de signo. 2. $c_1 = \dfrac{1\cdot4 - 2\cdot(-2)}{4 - (-2)} = \dfrac{8}{6} = 1.3333$, $f(c_1) = -0.962$ → raíz en [1.3333, 2]. 3. Se repite hasta alcanzar la tolerancia deseada. --- ### Código en MATLAB ```matlab f = @(x) x^3 - x - 2; a = 1; b = 2; tol = 1e-5; while abs(f((a*f(b) - b*f(a)) / (f(b) - f(a)))) > tol c = (a*f(b) - b*f(a)) / (f(b) - f(a)); if f(a) * f(c) < 0 b = c; else a = c; end end fprintf('Raíz aproximada: %.5f\n', c);

Código en Python

def f(x):
    return x**3 - x - 2

a, b = 1, 2
tol = 1e-5

while abs(f((a*f(b) - b*f(a)) / (f(b) - f(a)))) > tol:
    c = (a*f(b) - b*f(a)) / (f(b) - f(a))
    if f(a) * f(c) < 0:
        b = c
    else:
        a = c

print(f"Raíz aproximada: {c:.5f}")

Comparación rápida

Método	Ventaja	Desventaja
Bisección	Siempre converge si $f(a)f(b) < 0$	Convergencia más lenta
Falsa Posición	Más rápido si $f(x)$ es casi lineal	Puede estancarse en algunos casos

Ejercicios propuestos

Usa bisección para $f(x) = \cos(x) - x$ en [0, 1], con tolerancia $10^{-6}$. 2. Usa falsa posición para $f(x) = x^2 - 5$ en [2, 3]. 3. Compara el número de iteraciones de ambos métodos para \(f(x) = e^x - 3x) en [0, 1].

Método de la bisección y falsa posición

Funciones utilizadas

Prueba

Sesión – Raíces de Ecuaciones: Métodos Cerrados

Objetivos de aprendizaje

Comprender el concepto de raíz de una función $f(x) = 0$.
Conocer el Teorema del Valor Medio.
Aplicar el método de Bisección.
Aplicar el método de Falsa Posición (Regula Falsi).
Implementar los métodos en MATLAB y Python.

1. Métodos Cerrados y Teorema del Valor Medio

Concepto de raíz

Una raíz de $f(x) = 0$ es un número $r$ tal que $f(r) = 0$.

Ejemplos prácticos:

Determinar caudales críticos en hidráulica.
Puntos de equilibrio en dinámica poblacional.
Tensiones críticas en estructuras.

Teorema del Valor Medio

El Teorema del Valor Medio establece:

Si $f(x)$ es continua en $[a, b]$ y $f(a) \cdot f(b) < 0$, > entonces existe al menos una raíz $r$ en el intervalo $(a, b)$. Los **métodos cerrados** parten de un intervalo inicial $[a, b]$ donde la función cambia de signo. --- ## 2. Método de la Bisección ### Idea 1. Se parte de un intervalo $[a, b]$ con $f(a) \cdot f(b) < 0$. 2. Se calcula el punto medio: $$ c = \frac{a + b}{2} $$ 3. Se evalúa $f(c)$:
Si $f(a) \cdot f(c) < 0$, la raíz está en $[a, c]$. - Si $f(c) \cdot f(b) < 0$, la raíz está en $[c, b]$.
Se repite hasta que el intervalo sea suficientemente pequeño.

Error de aproximación

Después de $n$ iteraciones: $$ E_n \le \frac{|b - a|}{2^n} $$

Ejemplo

Resolver $f(x) = x^3 - x - 2$ en $[1, 2]$.

$f(1) = -2,\ f(2) = 4$ → hay cambio de signo. - $c_1 = (1 + 2)/2 = 1.5,\ f(1.5) = -0.125$ → raíz está en [1.5, 2].
$c_2 = (1.5 + 2)/2 = 1.75,\ f(1.75) = 1.609$ → raíz está en [1.5, 1.75]. - Se continúa hasta el error deseado. --- ### Código en MATLAB ```matlab f = @(x) x^3 - x - 2; a = 1; b = 2; tol = 1e-5; while (b - a)/2 > tol c = (a + b)/2; if f(a) * f(c) < 0 b = c; else a = c; end end fprintf('Raíz aproximada: %.5f\n', c);

Código en Python

def f(x):
    return x**3 - x - 2

a, b = 1, 2
tol = 1e-5

while (b - a)/2 > tol:
    c = (a + b)/2
    if f(a) * f(c) < 0:
        b = c
    else:
        a = c

print(f"Raíz aproximada: {c:.5f}")

3. Método de la Falsa Posición (Regula Falsi)

Idea

Similar al de bisección, pero el nuevo punto se obtiene de la intersección de la recta secante con el eje x:

$$ c = \frac{a \ f(b) - b \ f(a)}{f(b) - f(a)} $$

Tiende a converger más rápido que la bisección cuando la función es aproximadamente lineal.

Ejemplo

Resolver $f(x) = x^3 - x - 2$ en $[1, 2]$.

$f(1) = -2,\ f(2) = 4$ → cambio de signo. 2. $c_1 = \dfrac{1\cdot4 - 2\cdot(-2)}{4 - (-2)} = \dfrac{8}{6} = 1.3333$, $f(c_1) = -0.962$ → raíz en [1.3333, 2]. 3. Se repite hasta alcanzar la tolerancia deseada. --- ### Código en MATLAB ```matlab f = @(x) x^3 - x - 2; a = 1; b = 2; tol = 1e-5; while abs(f((a*f(b) - b*f(a)) / (f(b) - f(a)))) > tol c = (a*f(b) - b*f(a)) / (f(b) - f(a)); if f(a) * f(c) < 0 b = c; else a = c; end end fprintf('Raíz aproximada: %.5f\n', c);

Código en Python

def f(x):
    return x**3 - x - 2

a, b = 1, 2
tol = 1e-5

while abs(f((a*f(b) - b*f(a)) / (f(b) - f(a)))) > tol:
    c = (a*f(b) - b*f(a)) / (f(b) - f(a))
    if f(a) * f(c) < 0:
        b = c
    else:
        a = c

print(f"Raíz aproximada: {c:.5f}")

Comparación rápida

Método	Ventaja	Desventaja
Bisección	Siempre converge si $f(a)f(b) < 0$	Convergencia más lenta
Falsa Posición	Más rápido si $f(x)$ es casi lineal	Puede estancarse en algunos casos

Ejercicios propuestos

Usa bisección para $f(x) = \cos(x) - x$ en [0, 1], con tolerancia $10^{-6}$. 2. Usa falsa posición para $f(x) = x^2 - 5$ en [2, 3]. 3. Compara el número de iteraciones de ambos métodos para \(f(x) = e^x - 3x) en [0, 1].

Métodos abiertos

🌱 Sesión – Raíces de Ecuaciones: Métodos Abiertos

🎯 Objetivos de aprendizaje

Comprender el principio general de los métodos abiertos para encontrar raíces de ecuaciones no lineales.
Aplicar los métodos de Newton-Raphson, Secante y Punto Fijo.
Comparar la velocidad de convergencia con respecto a los métodos cerrados.
Resolver problemas prácticos usando formulaciones manuales y computacionales.

1. Introducción a los métodos abiertos

Los métodos abiertos para encontrar raíces de una ecuación $ f(x) = 0 $ no requieren necesariamente que la raíz esté encerrada entre dos valores (a diferencia de los métodos cerrados como Bisección o Falsa Posición).
En su lugar, se parte de una o más aproximaciones iniciales y se espera que el proceso iterativo converja hacia la raíz verdadera.

Características principales

No necesitan intervalos con cambio de signo.
Suelen converger más rápido, pero pueden divergir si la elección inicial es inadecuada.
Requieren evaluaciones de derivadas (como Newton-Raphson) o de varios puntos (como Secante).

2. Método de Newton-Raphson

Concepto

El método de Newton-Raphson se basa en aproximar la función con su tangente en un punto cercano a la raíz.
Dado un punto $ x_i $, la recta tangente a $ f(x) $ se expresa como:

\[ y = f(x_i) + f'(x_i)(x - x_i) \]

La raíz de esa tangente se usa como la siguiente aproximación $ x_{i+1} $:

\[ x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(xi)} \] ### Criterio de parada \[ |x{i+1} - xi| < \varepsilon \quad \text{o} \quad |f(x{i+1})| < \varepsilon \]

donde $ \varepsilon $ es la tolerancia deseada. --- ## 3. Método de la Secante ### Concepto Es una **modificación del método de Newton-Raphson** que **no requiere derivadas**. En su lugar, se usa la pendiente de la recta secante entre dos puntos $ (x{i-1}, f(x{i-1})) $ y $ (x_i, f(x_i)) $: \ x_{i+1} = x_i - f(x_i)\frac{x_i - x_{i-1}}{f(x_i) - f(x_{i-1})} \}{xi - x{i-1}} \] Sustituyendo en Newton-Raphson: \[ x_{i+1} = x_i - f(x_i)\frac{x_i - x_{i-1}}{f(x_i) - f(x_{i-1})} \]

4. Método del Punto Fijo

Concepto

Una ecuación $ f(x) = 0 $ puede reescribirse como $ x = g(x) $.
Si el proceso iterativo

\[ x_{i+1} = g(x_i) \]

conduce a un valor que satisface $ x_{i+1} \approx x_i $, se dice que el método **ha convergido**. ### Condición de convergencia \[ |g'(x)| < 1 \quad \text{en la vecindad de la raíz.} \] --- ## 5. Comparación entre métodos | Método | Requiere derivada | Nº de puntos | Convergencia | Ventaja principal | |--------------------|------------------|---------------|---------------|------------------| | Newton-Raphson | Sí | 1 | Cuadrática | Muy rápido si $x_0$ es bueno | | Secante | No | 2 | Superlineal | Evita derivadas | | Punto Fijo | No | 1 | Lineal | Simple de implementar | --- ## 6. Ejercicios desarrollados ### 🧩 Ejercicio 1 – Newton-Raphson Resolver $ f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0 $ con $ x_0 = 2 $ \[ f'(x) = 3x^2 - 2 \] Iteraciones: \[ x_1 = 2 - \frac{8 - 4 - 5}{10} = 2.1 \] \[ x_2 = 2.1 - \frac{9.261 - 4.2 - 5}{(13.23 - 2)} = 2.0946 \] \[ x_3 \approx 2.09455 \]

✅ Raíz aproximada: $ x = 2.0946 $

🧩 Ejercicio 2 – Secante

Resolver $ f(x) = e^{-x} - x = 0 $, con $ x_0 = 0 $, $ x_1 = 1 $.

\[ x_{i+1} = x_i - f(x_i)\frac{xi - x{i-1}}{f(xi) - f(x{i-1})} \] Iteraciones: - $ f(0) = 1 $ - $ f(1) = e^{-1} - 1 = -0.6321 $ \[ x_2 = 1 - (-0.6321)(1-0)/(-0.6321 - 1) = 0.613 \] \[ x_3 = 0.613 - f(0.613)\frac{0.613 - 1}{f(0.613) - f(1)} = 0.567 \] ✅ Raíz aproximada: $ x = 0.567 $

🧩 Ejercicio 3 – Punto Fijo

Resolver $ f(x) = \cos x - x = 0 $ reescribiendo como $ x = \cos x $.

Iteraciones con $ x_0 = 0.5 $:
\[ x_1 = \cos(0.5) = 0.8776
\] \[ x_2 = \cos(0.8776) = 0.6390 \] \[ x_3 = \cos(0.6390) = 0.8027
\] \[ x_4 = \cos(0.8027) = 0.6948 \] ✅ Raíz aproximada: $ x = 0.7391 $

🧩 Ejercicio 4 – Newton-Raphson aplicado a ingeniería

Determinar el diámetro $D$ en una ecuación de flujo de tubería:
\[ f(D) = 0.25 - \frac{1}{(1.8\log_{10}(6.9/Re + (k/3.7D)^{1.11}))^2} \] Con $ Re = 5\times10^5 $, $ k = 0.0002 $, $ D_0 = 0.05 $. Usando software (MATLAB o Python), el método converge a $ D = 0.0495 $ m. --- ### 🧩 Ejercicio 5 – Secante con convergencia lenta $ f(x) = \ln(x+1) + x^2 - 2 $, con $ x_0 = 0 $, $ x_1 = 1 $.
Iterando, se obtiene $ x = 0.804 $ tras 4 iteraciones.

🧩 Ejercicio 6 – Comparativo

Resolver $ f(x) = x^3 - 9x + 3 $ usando Newton-Raphson y Secante.

Newton-Raphson: $ x_0 = 2 $ → raíz = 0.338
Secante: $ x_0 = 2, x_1 = 1.5 $ → raíz = 0.339
✅ Ambos métodos convergen al mismo valor, pero Newton-Raphson requiere menos iteraciones.

7. Ejercicios propuestos

Aplicar Newton-Raphson para $ f(x) = x^2 - 7 = 0 $, con $ x_0 = 2 $.
Usar Secante para $ f(x) = \tan x - x = 0 $, con $ x_0 = 4.5, x_1 = 4.7 $. 3. Reescribir $ f(x) = e^{-x} - x = 0 $ para usar el método de punto fijo. 4. Aplicar Newton-Raphson a $ f(x) = x^3 + 4x^2 - 10 = 0 $. 5. Resolver $ f(x) = \sin x - 0.5 = 0 $ mediante la secante.
Probar $ f(x) = e^{x} - 3x = 0 $ con dos métodos diferentes.
Verificar convergencia del punto fijo para $ x = e^{-x} $.
Comparar tiempos de convergencia entre Newton y Secante para $ f(x) = x^3 - 2x - 5 $.
Determinar raíz real de $ f(x) = x^5 - x - 1 = 0 $ con Newton-Raphson.
Analizar divergencia en $ f(x) = \sqrt{x} - 5 $ usando \( x_0 = 0.1 ) en Newton-Raphson.

Métodos abiertos

Presentación de la Unidad

Bienvenido a esta unidad. Aquí encontrarás toda la información y recursos necesarios para tu aprendizaje.

Canva

Presentación de la Unidad

Bienvenido a esta unidad. Aquí encontrarás toda la información y recursos necesarios para tu aprendizaje.

Canva

Métodos de integración

Métodos de integración numérica

Objetivo: Comprender los fundamentos de la integración numérica y aplicar, de manera progresiva, la regla del rectángulo, la regla del trapecio, la regla de Simpson (1/3) y las fórmulas de Newton–Cotes (incluyendo Simpson 3/8 y Boole), con apoyo gráfico y ejercicios.

1. Fundamentos

Una integral definida $$\int_a^b f(x)\,dx$$ representa el área con signo bajo la curva $y=f(x)$ entre $x=a$ y $x=b$.

Cuando no podemos hallar una primitiva sencilla de $f$, recurrimos a métodos numéricos: aproximamos el área por sumas de áreas sencillas (rectángulos, trapecios, “parábolas”).

En casi todos los métodos dividimos $[a,b]$ en $n$ subintervalos de igual longitud: $$h = \frac{b-a}{n},\qquad x_0=a,\; x_1=a+h,\;\ldots,\;x_n=b.$$

2. Regla del rectángulo

2.1. Versión simple en un solo subintervalo

En un intervalo pequeño $[a,b]$ podemos aproximar el área con un solo rectángulo. Escogemos un punto $c\in[a,b]$ (izquierdo, derecho o punto medio), y usamos: $$\int_a^b f(x)\,dx \approx (b-a)\,f(c).$$

Rectángulo izquierdo: $c=a$.
Rectángulo derecho: $c=b$.
Punto medio: $c=\tfrac{a+b}{2}$.

2.2. Regla del rectángulo compuesta

Si dividimos $[a,b]$ en $n$ subintervalos de ancho $h$, podemos sumar rectángulos:

Rectángulos izquierdos: $$\int_a^b f(x)\,dx \approx h\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i).$$
Rectángulos derechos: $$\int_a^b f(x)\,dx \approx h\sum_{i=1}^{n} f(x_i).$$
Rectángulos de punto medio: $$\int_a^b f(x)\,dx \approx h\sum_{i=0}^{n-1} f\!\left(\frac{x_i+x_{i+1}}{2}\right).$$

Ejemplo: f(x)=x² en [0,1] con punto medio (n=5)

El valor exacto es $\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx = \tfrac{1}{3}$.

Con $n=5$, $h=0.2$, puntos medios $0.1,0.3,0.5,0.7,0.9$, se obtiene: $$\int_0^1 x^2\,dx \approx 0.2(0.01+0.09+0.25+0.49+0.81) = 0.33,$$ muy cercano a $0.3333$.

Ejercicios propuestos (regla del rectángulo)

Aproxima $\displaystyle \int_0^2 x\,dx$ con rectángulo izquierdo ($n=4$) y compáralo con el valor exacto.
Aproxima $\displaystyle \int_1^3 (2x+1)\,dx$ con rectángulo derecho ($n=4$).
Usa punto medio ($n=6$) para $\displaystyle \int_0^3 x^2\,dx$ y estima el error absoluto.
Compara izquierdos vs derechos en $\displaystyle \int_0^{\pi} \sin x\,dx$ con $n=8$.
Explica, usando un dibujo, por qué el punto medio suele dar mejor aproximación que los extremos para funciones convexas.

3. Regla del trapecio

3.1. Trapecio simple

En un solo intervalo $[a,b]$, la regla del trapecio simple aproxima la curva por el segmento que une $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$. El área se aproxima por el área del trapecio: $$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\,[f(a)+f(b)].$$

3.2. Trapecio compuesto

Si dividimos $[a,b]$ en $n$ subintervalos de longitud $h$, y sumamos los trapecios de cada subintervalo, obtenemos la regla del trapecio compuesta: $$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\Big[f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n)\Big].$$

Ejercicios propuestos (regla del trapecio)

Aplica el trapecio simple a $\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx$ y compáralo con el valor exacto.
Usa el trapecio compuesto con $n=4$ para $\displaystyle \int_0^2 x^2\,dx$.
Aproxima $\displaystyle \int_0^{\pi} \sin x\,dx$ con el trapecio compuesto ($n=8$).
Discute, con un dibujo, por qué el trapecio corrige parcialmente el sesgo del rectángulo izquierdo para funciones crecientes.
Compara numéricamente $n=4$ vs $n=8$ en el trapecio para $\displaystyle \int_0^1 e^{-x}\,dx$.

4. Regla de Simpson 1/3

4.1. Simpson 1/3 simple

La regla de Simpson 1/3 simple aproxima $f$ en un intervalo $[a,b]$ usando un polinomio cuadrático que interpola la función en tres puntos equiespaciados: $$x_0=a,\quad x_1=\frac{a+b}{2},\quad x_2=b.$$ La fórmula es: $$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{6}\,[f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)].$$

4.2. Simpson 1/3 compuesta

Si dividimos $[a,b]$ en $n$ subintervalos (con $n$ par), $h=\frac{b-a}{n}$, la fórmula compuesta es: $$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0) + 4\sum_{\substack{i=1 \\ i\text{ impar}}}^{n-1} f(x_i) + 2\sum_{\substack{i=2 \\ i\text{ par}}}^{n-2} f(x_i) + f(x_n)\right].$$

Ejercicios propuestos (Simpson 1/3)

Usa Simpson 1/3 simple para $\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx$ y verifica que obtienes el valor exacto.
Aplica Simpson 1/3 compuesta con $n=4$ a $\displaystyle \int_0^2 x^2\,dx$.
Aproxima $\displaystyle \int_0^{\pi} \sin x\,dx$ con Simpson 1/3 compuesta ($n=8$).
Aproxima $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x}\,dx$ con Simpson 1/3 compuesta ($n=6$) y compárala con $\ln 2$.
Compara Simpson 1/3 y trapecio para $\displaystyle \int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ con el mismo paso $h$.

5. Fórmulas de Newton–Cotes y variantes

5.1. Contexto Newton–Cotes

Las fórmulas de Newton–Cotes aproximan la integral mediante un polinomio que interpola la función en puntos equiespaciados. Según el grado del polinomio, obtenemos:

Grado 0: Rectángulo (constante).
Grado 1: Trapecio (lineal).
Grado 2: Simpson 1/3 (cuadrático).
Grado 3: Regla 3/8 de Simpson (cúbico).
Grado 4: Regla de Boole (cuártico).

Es decir, la regla de Simpson 1/3 y la regla 3/8 son casos particulares de Newton–Cotes cerradas (con nodos que incluyen los extremos del intervalo).

5.2. Regla 3/8 de Simpson: explicación

La regla 3/8 de Simpson usa tres subintervalos de longitud $h$, es decir, cuatro puntos equiespaciados: $$x_0,\;x_1=x_0+h,\;x_2=x_0+2h,\;x_3=x_0+3h.$$

Igual que en Simpson 1/3, la idea es interpolar $f$ con un polinomio, pero ahora de grado 3 (cúbico) que pasa por los cuatro puntos $(x_i,f(x_i))$ con $i=0,1,2,3$, y luego integrar ese polinomio en el intervalo $[x_0,x_3]$.

El resultado es la fórmula: $$\int_{x_0}^{x_3} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\big[f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_3)\big].$$

Observa la similitud con Simpson 1/3 (grado 2):

Simpson 1/3 simple: coeficientes $1,4,1$ sobre 3 puntos equiespaciados.
Simpson 3/8 simple: coeficientes $1,3,3,1$ sobre 4 puntos equiespaciados.

Ejemplo desarrollado: f(x)=x³ en [0,1] con regla 3/8

Queremos aproximar $$\int_0^1 x^3\,dx.$$ El valor exacto es $\displaystyle \left.\frac{x^4}{4}\right|_0^1 = \frac{1}{4} = 0{,}25.$

Usamos la regla 3/8 en $[0,1]$. Tomamos 3 subintervalos, de modo que: $$h = \frac{1-0}{3} = \frac{1}{3}.$$ Los puntos son: $$x_0=0,\quad x_1=\frac{1}{3},\quad x_2=\frac{2}{3},\quad x_3=1.$$

Calculamos los valores de $f(x)=x^3$:

$f(x_0) = f(0) = 0^3 = 0$.
$f(x_1) = f\!\left(\tfrac{1}{3}\right) = \left(\tfrac{1}{3}\right)^3 = \tfrac{1}{27} \approx 0{,}037037$.
$f(x_2) = f\!\left(\tfrac{2}{3}\right) = \left(\tfrac{2}{3}\right)^3 = \tfrac{8}{27} \approx 0{,}296296$.
$f(x_3) = f(1) = 1^3 = 1$.

Aplicamos la fórmula: $$\int_0^1 x^3\,dx \approx \frac{3h}{8}\big[f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_3)\big].$$ Como $h=\tfrac{1}{3}$, se tiene $\tfrac{3h}{8} = \tfrac{1}{8}$, y: $$\int_0^1 x^3\,dx \approx \frac{1}{8}\left[0 + 3\cdot\frac{1}{27} + 3\cdot\frac{8}{27} + 1\right].$$

Simplificando dentro del corchete: $$3\cdot\frac{1}{27} = \frac{1}{9},\qquad 3\cdot\frac{8}{27} = \frac{8}{9}.$$ Luego: $$0 + \frac{1}{9} + \frac{8}{9} + 1 = \frac{1}{9} + \frac{8}{9} + 1 = 1 + 1 = 2.$$ Por tanto: $$\int_0^1 x^3\,dx \approx \frac{1}{8}\cdot 2 = \frac{1}{4} = 0{,}25.$$

En este caso, la regla 3/8 es exacta, porque estamos integrando un polinomio de grado 3 y la fórmula está basada precisamente en un polinomio cúbico.

Simpson 3/8 compuesta (idea)

Al igual que con Simpson 1/3, podemos construir una versión compuesta de la regla 3/8 aplicándola en bloques de 3 subintervalos (es decir, sobre grupos de 4 puntos) a lo largo de $[a,b]$.

En la práctica, suele combinarse o alternarse con Simpson 1/3 cuando el número de subintervalos no permite usar siempre bloques de 2 subintervalos. Pero en muchos cursos introductorios se utiliza principalmente Simpson 1/3.

5.3. Regla de Boole

Sobre cuatro subintervalos de largo $h$ (cinco puntos $x_0,x_1,x_2,x_3,x_4$): $$\int_{x_0}^{x_4} f(x)\,dx \approx \frac{2h}{45}\big[7f(x_0) + 32f(x_1) + 12f(x_2) + 32f(x_3) + 7f(x_4)\big].$$

Esta fórmula corresponde a Newton–Cotes de grado 4 y, de nuevo, es exacta para polinomios de grado hasta 4. Sin embargo, su uso es menos frecuente en la práctica básica frente a Simpson 1/3.

5.4. Resumen y ejercicios propuestos (Newton–Cotes)

Resumiendo, en la familia de Newton–Cotes cerradas hemos visto:

Rectángulo (grado 0).
Trapecio (grado 1).
Simpson 1/3 (grado 2).
Simpson 3/8 (grado 3).
Boole (grado 4).

Ejercicios propuestos (Newton–Cotes)

Aplica la regla 3/8 para $\displaystyle \int_0^1 x^3\,dx$ como en el ejemplo, pero escribiendo todos los pasos tú mismo.
Usa la regla de Boole en $[0,1]$ para $\displaystyle \int_0^1 x^4\,dx$. Verifica si obtienes el valor exacto.
Compara trapecio, Simpson 1/3 y 3/8 para $\displaystyle \int_0^{\pi} \sin x\,dx$ usando el mismo paso $h$.
Explica por qué, en la práctica, suele preferirse Simpson 1/3 repetido en lugar de fórmulas de grado muy alto como Boole.
Investiga el orden de error de las fórmulas de Newton–Cotes hasta grado 4 y aplica una de ellas a $\displaystyle \int_0^1 x^5\,dx$.

Resumen

Resumen: reglas básicas de integración numérica

🔹 Regla del trapecio (n = 1)

Subdivisión: un solo subintervalo de largo $h = b-a$.
Puntos: $x_0 = a,\; x_1 = b$.

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\,\big[f(a) + f(b)\big]$$

🔹 Regla de Simpson 1/3 (n = 2)

Subdivisión: dos subintervalos de largo $h = \dfrac{b-a}{2}$.
Puntos: $$x_0 = a,\qquad x_1 = a + h = \frac{a+b}{2},\qquad x_2 = a + 2h = b.$$

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\,\big[f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)\big]$$

🔹 Regla de Simpson 3/8 (n = 3)

Subdivisión: tres subintervalos de largo $h = \dfrac{b-a}{3}$.
Puntos: $$x_0 = a,\qquad x_1 = a + h,\qquad x_2 = a + 2h,\qquad x_3 = a + 3h = b.$$

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\,\big[f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_3)\big]$$

Diferenciación numérica

Objetivo: Comprender cómo aproximar derivadas mediante diferencias finitas (adelante, atrás y centradas), interpretar el error de truncamiento y aplicar estos métodos en ejemplos y ejercicios.

1. Fundamentos

La derivada de una función $f$ en un punto $x_0$ se define como $$ f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}. $$

En la práctica numérica no podemos hacer $h\to 0$, pero sí elegir un paso pequeño $h$ y aproximar la derivada mediante diferencias finitas: usamos valores de la función en puntos cercanos a $x_0$.

Las ideas clave son:

Elegir cómo tomamos los puntos alrededor de $x_0$ (adelante, atrás o centrados).
Equilibrar el tamaño de $h$: si es muy grande, aumenta el error de truncamiento; si es muy pequeño, aumenta el error de redondeo.

2. Diferencias hacia adelante y hacia atrás

2.1. Fórmula de diferencia hacia adelante

La diferencia hacia adelante aproxima la derivada usando $x_0$ y $x_0+h$: $$ f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}. $$

Esta fórmula es de primer orden: el error de truncamiento es del orden de $O(h)$.

2.2. Fórmula de diferencia hacia atrás

La diferencia hacia atrás usa $x_0$ y $x_0-h$: $$ f'(x_0) \approx \frac{f(x_0) - f(x_0 - h)}{h}. $$

También es de primer orden, con error $O(h)$.

2.3. Ejemplo desarrollado (adelante y atrás)

Considera $f(x)=x^2$ y queremos aproximar $f'(0{,}5)$. Sabemos que $f'(x)=2x$, por lo que el valor exacto es: $$f'(0{,}5)=2\cdot 0{,}5=1.$$

Tomamos $h=0{,}2$. Entonces:

$f(0{,}5)=0{,}25$.
$f(0{,}7)=0{,}49$.
$f(0{,}3)=0{,}09$.

Diferencia hacia adelante: $$f'(0{,}5) \approx \frac{f(0{,}7)-f(0{,}5)}{0{,}2} = \frac{0{,}49-0{,}25}{0{,}2} = \frac{0{,}24}{0{,}2} = 1{,}2.$$

Diferencia hacia atrás: $$f'(0{,}5) \approx \frac{f(0{,}5)-f(0{,}3)}{0{,}2} = \frac{0{,}25-0{,}09}{0{,}2} = \frac{0{,}16}{0{,}2} = 0{,}8.$$

Vemos que una sobrestima (1,2) y la otra subestima (0,8) el valor real (1). Más adelante veremos que la fórmula centrada “equilibra” este efecto.

Ejercicios propuestos (adelante/atrás)

Para $f(x)=\mathrm{e}^x$, aproxima $f'(0)$ con diferencia hacia adelante y hacia atrás usando $h=0{,}1$. Compara con el valor exacto $f'(0)=1$.
Para $f(x)=\sin x$, aproxima $f'( \pi/4 )$ con $h=0{,}1$. Compara con $\cos(\pi/4)$.
Para $f(x)=\ln x$, aproxima $f'(1)$ con $h=0{,}1$. Compara con $1$.
Discute con un dibujo cómo varía el error cuando haces $h$ más grande o más pequeño.
Explica por qué estas fórmulas tienen error de orden $O(h)$ (pista: usa el desarrollo de Taylor).

3. Diferencia centrada de primer orden

3.1. Fórmula centrada básica

La diferencia centrada usa dos puntos alrededor de $x_0$: $x_0-h$ y $x_0+h$. La fórmula es: $$ f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h}. $$

Esta aproximación tiene error de truncamiento de orden $O(h^2)$, por lo que suele ser más precisa que las fórmulas hacia adelante/atrás para el mismo valor de $h$.

3.2. Ejemplo desarrollado (centrada)

Volvemos a $f(x)=x^2$ y $x_0=0{,}5$, con $h=0{,}2$. Sabemos que el valor exacto es $f'(0{,}5)=1$.

Ya tenemos: $$f(0{,}3)=0{,}09,\qquad f(0{,}7)=0{,}49.$$ Aplicamos la fórmula centrada: $$ f'(0{,}5) \approx \frac{f(0{,}5 + 0{,}2) - f(0{,}5 - 0{,}2)}{2\cdot 0{,}2} = \frac{0{,}49 - 0{,}09}{0{,}4} = \frac{0{,}40}{0{,}4} = 1{,}0. $$

En este caso, con los números elegidos, la fórmula centrada da exactamente el valor correcto. Incluso cuando no sea exacta, suele ser mucho más precisa que las fórmulas hacia adelante/atrás para el mismo $h$.

Ejercicios propuestos (centrada)

Para $f(x)=\mathrm{e}^x$, aproxima $f'(0)$ con la fórmula centrada usando $h=0{,}1$. Compara con el valor exacto.
Para $f(x)=\sin x$, aproxima $f'(\pi/3)$ con $h=0{,}05$. Compara con $\cos(\pi/3)$.
Para $f(x)=\ln x$, aproxima $f'(1)$ con fórmula centrada y $h=0{,}1$. Compara con $1$.
Compara numéricamente el error de la diferencia hacia adelante y la centrada para $f(x)=x^2$ en $x_0=1$ con $h=0{,}1$.
Discute por qué la fórmula centrada es de orden $O(h^2)$ usando el desarrollo de Taylor.

4. Fórmulas de orden superior

4.1. Segunda derivada con diferencias centradas

La segunda derivada $f''(x_0)$ se puede aproximar con tres puntos: $$ f''(x_0) \approx \frac{f(x_0+h) - 2f(x_0) + f(x_0-h)}{h^2}, $$ que es una fórmula de orden $O(h^2)$.

Ejemplo: segunda derivada de f(x)=x³

Sea $f(x)=x^3$. Sabemos que $f'(x)=3x^2$ y $f''(x)=6x$. En $x_0=1$, el valor exacto es $f''(1)=6$.

Tomamos $h=0{,}1$. Entonces: $$f(1{,}1)=1{,}1^3=1{,}331,\qquad f(1)=1,\qquad f(0{,}9)=0{,}9^3=0{,}729.$$ Aplicando la fórmula: $$ f''(1) \approx \frac{1{,}331 - 2\cdot 1 + 0{,}729}{(0{,}1)^2} = \frac{1{,}331 - 2 + 0{,}729}{0{,}01} = \frac{0{,}060}{0{,}01} = 6{,}0. $$

De nuevo, en este caso, la aproximación resulta exacta por tratarse de un polinomio sencillo.

4.2. Fórmula de primer derivada más precisa (cinco puntos, orden O(h⁴))

Si queremos más precisión para la primera derivada, podemos usar una fórmula centrada con más puntos. Un caso clásico (de orden $O(h^4)$) es: $$ f'(x_0) \approx \frac{-f(x_0+2h) + 8f(x_0+h) - 8f(x_0-h) + f(x_0-2h)}{12h}. $$

Esta fórmula requiere evaluar la función en cuatro puntos alrededor de $x_0$, pero proporciona un error mucho menor que la fórmula centrada básica, si la función es suficientemente suave.

Ejercicios propuestos (orden superior)

Calcula $f''(0)$ para $f(x)=\sin x$ usando la fórmula centrada con $h=0{,}1$. Compara con el valor exacto $f''(0)=0$.
Usa la fórmula de cinco puntos para aproximar $f'(0)$ si $f(x)=\mathrm{e}^x$, con $h=0{,}1$. Compara con 1.
Para $f(x)=x^4$, aproxima $f''(1)$ con la fórmula de segunda derivada centrada usando $h=0{,}1$. Compara con el valor exacto.
Discute la relación entre el número de puntos usados y el orden del error en las fórmulas de diferencias finitas.
Investiga cómo afectan los errores de redondeo cuando $h$ es muy pequeño en estas fórmulas de orden superior.

5. Comentarios finales

En diferenciación numérica siempre hay que equilibrar:

Error de truncamiento: disminuye al hacer $h$ más pequeño y usar fórmulas de orden más alto.
Error de redondeo: aumenta si $h$ es demasiado pequeño debido a las limitaciones de la aritmética de máquina.

En la práctica:

Las fórmulas centradas de segundo orden suelen ser una muy buena elección inicial.
Para bordes de un intervalo (por ejemplo, en datos tabulados), puede ser necesario usar fórmulas hacia adelante/atrás.
Si se requiere alta precisión y se conocen bien las propiedades de la función, se pueden emplear fórmulas de orden superior.

Presentación de la Unidad

Bienvenido a esta unidad. Aquí encontrarás toda la información y recursos necesarios para tu aprendizaje.

EDO

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias en Métodos Numéricos

1. Motivación y contexto

Muchas leyes de la física, la biología, la economía o la ingeniería no describen directamente una fórmula explícita $y(x)$, sino que relacionan la cantidad desconocida con su tasa de cambio.

Crecimiento de una población: la rapidez con que crece la población es proporcional al número de individuos presentes.
Enfriamiento de un cuerpo: la rapidez con que cambia la temperatura es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del ambiente.
Corrientes eléctricas: la variación de la corriente o el voltaje en un circuito $RC$ o $RL$ se describe por relaciones entre las funciones y sus derivadas.

En todas estas situaciones, la información que tenemos es una ecuación diferencial ordinaria (EDO), y nuestro objetivo es encontrar o aproximar la función desconocida que la satisface.

2. Definiciones básicas

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación que relaciona una función desconocida $y(x)$ con sus derivadas respecto de una sola variable independiente $x$:

F\big(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}\big) = 0.

El orden de la EDO es el orden más alto de derivada que aparece. Por ejemplo, $y'' + 3y' - 4y = 0$ es de segundo orden.
Una EDO es de primer orden si solo aparece $y'$ (no $y'', y''', \dots$): $y' = f(x,y)$.
Una solución de la EDO es una función $y(x)$ tal que, al reemplazarla (junto con sus derivadas) en la ecuación, la igualdad se cumple en cierto intervalo.
Un problema de valor inicial (PVI) especifica además el valor de la solución en un punto: $\begin{cases} y' = f(x,y),\\ y(x_0) = y_0. \end{cases}$

En Métodos Numéricos trabajaremos casi siempre con PVIs, porque los métodos de aproximación numérica necesitan un “punto de partida” concreto para construir la solución.

3. EDO separables de primer orden

3.1. ¿Qué significa que sea separable?

Una EDO de primer orden es separable si podemos “separar” las variables $x$ e $y$ en lados distintos de la ecuación:

\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y)

donde $g(x)$ es una función solo de $x$ y $h(y)$ es una función solo de $y$.

El por qué del método es muy geométrico: la derivada $dy/dx$ describe cómo cambia $y$ cuando cambia $x$. Si podemos “reescribir” la relación en forma de $A(y)\,dy = B(x)\,dx$, entonces integrar ambos lados equivale a “sumar” pequeños cambios de $y$ y de $x$ de manera coherente.

3.2. Procedimiento para una EDO separable

Partimos de:

\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y).

Reordenar para separar variables: si $h(y) \neq 0$, podemos escribir $\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$. Esto usa la idea de que $dy/dx$ se comporta, formalmente, como un cociente de diferenciales $dy$ y $dx$.
Integrar ambos lados: $\int \frac{1}{h(y)}\,dy = \int g(x)\,dx + C.$ Aquí, integrar es “reconstruir” la función cuya derivada da el lado izquierdo/derecho.
Despejar la función $y(x)$: si es posible, intentamos aislar $y$ en función de $x$ para obtener una solución explícita.
Aplicar la condición inicial: cuando el problema es un PVI, usamos $y(x_0)=y_0$ para hallar la constante de integración $C$.

3.3. Ejemplo 1: Crecimiento exponencial

Consideremos el modelo:

\frac{dy}{dx} = ky, \quad y(0) = y_0,

donde $k$ es una constante real. Este modelo dice: “la tasa de cambio de $y$ es proporcional al valor actual de $y$”. Esto es razonable en muchos procesos de crecimiento o decaimiento.

Paso 1: Verificar que es separable.

\frac{dy}{dx} = ky \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{y}\,dy = k\,dx.

Aquí “pasamos” $y$ al lado izquierdo y $dx$ al derecho, usando la notación diferencial. Lo que estamos haciendo es, en el fondo, buscar primitivas que separen el efecto de $x$ y de $y$.

Paso 2: Integrar ambos lados.

\int \frac{1}{y}\,dy = \int k\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y| = kx + C.

La razón de usar logaritmo es que la derivada de $\ln|y|$ es justo $1/y$, por lo que estamos “invirtiendo” la operación de derivar. En el lado derecho, la primitiva de $k$ es $kx$.

Paso 3: Despejar $y$.

\ln|y| = kx + C \quad\Rightarrow\quad |y| = e^{kx + C} = e^C e^{kx} = C_1 e^{kx}.

Como $C_1$ puede ser positivo o negativo, escribimos simplemente:

y(x) = C e^{kx}.

Aquí vemos claramente por qué aparece una exponencial: porque la derivada de una exponencial es proporcional a ella misma.

Paso 4: Usar la condición inicial.

y(0) = C e^{k\cdot 0} = C = y_0 \quad\Rightarrow\quad C = y_0.

\boxed{y(x) = y_0 e^{kx}.}

Si $k>0$, la solución crece exponencialmente; si $k<0$, decae exponencialmente. Esta interpretación cualitativa es clave en aplicaciones.

4. EDO lineales de primer orden

4.1. Definición y por qué son especiales

Una EDO de primer orden se dice lineal si se puede escribir en la forma:

\( y' + p(x) y = q(x), \)

donde $p(x)$ y $q(x)$ son funciones conocidas. Es “lineal” porque $y$ y $y'$ aparecen en forma lineal (no hay $y^2$, ni $\sin y$, etc.).

En estas ecuaciones, un truco poderoso es el uso de un factor integrante, que permite reescribir toda la ecuación como la derivada de un producto. Esto simplifica mucho el proceso de integración.

4.2. Factor integrante: idea y fórmula

Buscamos una función $\mu(x)$ tal que, al multiplicar la ecuación:

\( y' + p(x) y = q(x) \)

por $\mu(x)$, el lado izquierdo se convierta en la derivada de un producto $\frac{d}{dx}[\mu(x)y(x)]$.

Por la regla del producto:

\frac{d}{dx}[\mu(x)y(x)] = \mu(x) y'(x) + \mu'(x) y(x).

Para que esto se parezca a $\mu(x)y' + \mu(x)p(x)y$, necesitamos:

\mu'(x) = \mu(x)p(x) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mu'(x)}{\mu(x)} = p(x).

Integrando:

\int \frac{\mu'(x)}{\mu(x)}\,dx = \int p(x)\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|\mu(x)| = \int p(x)\,dx + C.

Tomando $C=0$ (cualquier constante multiplicativa sirve) obtenemos la fórmula clásica:

\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}.

Esta es la razón profunda del factor integrante: está diseñado para que el lado izquierdo de la ecuación sea exactamente la derivada de un producto, lo cual es fácil de integrar.

4.3. Procedimiento para una EDO lineal de primer orden

Identificar $p(x)$ y $q(x)$ en $y' + p(x)y = q(x)$.
Calcular el factor integrante $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$.
Multiplicar toda la ecuación por $\mu(x)$ y usar que el lado izquierdo se vuelve $\dfrac{d}{dx}[\mu(x)y(x)]$.
Integrar ambos lados: $\mu(x)y(x) = \int \mu(x)q(x)\,dx + C$.
Despejar $y(x)$ y, si hay condición inicial, hallar la constante $C$.

4.4. Ejemplo 2: Ecuación lineal simple

Resolver:

y' + 2y = e^{-x}, \quad y(0) = 1.

Paso 1: Identificar $p(x)$ y $q(x)$.

Comparando con $y' + p(x)y = q(x)$, vemos: $p(x)=2$, $q(x)=e^{-x}$.

Paso 2: Calcular el factor integrante.

\mu(x) = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}.

Paso 3: Multiplicar por $\mu(x)$.

e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^{2x}e^{-x} = e^{x}.

El lado izquierdo es justamente:

\frac{d}{dx}(e^{2x}y).

Aquí vemos el beneficio del factor integrante: hemos convertido la ecuación original en una ecuación muy simple de la forma $\dfrac{d}{dx}(\text{algo}) = \text{función conocida}$.

Paso 4: Integrar.

\frac{d}{dx}(e^{2x}y) = e^{x} \quad\Rightarrow\quad e^{2x}y = \int e^{x}\,dx + C = e^{x} + C.

Paso 5: Despejar $y(x)$.

y(x) = e^{-2x}(e^{x} + C) = e^{-x} + C e^{-2x}.

Paso 6: Usar la condición inicial.

y(0) = e^{0} + C e^{0} = 1 + C.

Como el problema indica que $y(0)=1$, tenemos:

1 + C = 1 \quad\Rightarrow\quad C = 0.

\boxed{y(x) = e^{-x}.}

Esto muestra que, para este caso, la solución particular coincide con una exponencial decaída. El proceso ha sido sistemático y se puede aplicar en muchas otras ecuaciones lineales.

5. Conexión con Métodos Numéricos: método de Euler

5.1. Planteamiento general

En muchos problemas reales, la EDO no tiene solución explícita sencilla, o su expresión cerrada no es práctica. Entonces recurrimos a métodos numéricos que aproximan la solución en puntos discretos:

\begin{cases} y' = f(x,y),\\[4pt] y(x_0) = y_0. \end{cases}

El método más básico es el método de Euler. Su idea es geométricamente clara: si conocemos la pendiente de la solución en un punto, podemos usar la recta tangente en un pequeño intervalo para aproximar la curva.

5.2. Idea geométrica de Euler

La derivada $y'(x_n) = f(x_n, y_n)$ es la pendiente de la solución en el punto $(x_n, y_n)$. Si damos un pequeño paso $h$ en la dirección del eje $x$, el incremento aproximado en $y$ es:

\Delta y \approx h\cdot f(x_n, y_n).

Por tanto, definimos:

x_{n+1} = x_n + h,\qquad y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n, y_n).

Desde el punto de vista gráfico, estamos “encadenando tangentes” para aproximar la curva solución.

5.3. Algoritmo de Euler (resumen)

Dado $x_0$, $y_0$, paso $h$ y número de pasos $N$:

Inicializar $(x_0, y_0)$.
Para $n = 0,1,2,\dots,N-1$:
- $x_{n+1} = x_n + h$
- $y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n, y_n)$

El par $(x_n, y_n)$ es la aproximación numérica de la solución en el punto $x_n$.

5.4. Ejemplo 3: Euler aplicado a un crecimiento exponencial

Tomemos nuevamente el PVI:

\begin{cases} y' = y,\\ y(0) = 1. \end{cases}

Sabemos que la solución exacta es $y(x) = e^{x}$, pero la usaremos sólo para comparar el resultado del método numérico.

Sea $h = 0.5$ y tomemos $N=4$ pasos (hasta $x=2$).

Datos iniciales:

x_0 = 0,\quad y_0 = 1,\quad f(x,y) = y.

Paso 1:

x_1 = x_0 + h = 0.5, \) \( y_1 = y_0 + h f(x_0, y_0) = 1 + 0.5\cdot 1 = 1.5.

Paso 2:

x_2 = 1.0, \) \( y_2 = y_1 + 0.5\cdot f(x_1, y_1) = 1.5 + 0.5\cdot 1.5 = 2.25.

Paso 3:

x_3 = 1.5, \) \( y_3 = y_2 + 0.5\cdot f(x_2, y_2) = 2.25 + 0.5\cdot 2.25 = 3.375.

Paso 4:

x_4 = 2.0, \) \( y_4 = y_3 + 0.5\cdot f(x_3, y_3) = 3.375 + 0.5\cdot 3.375 = 5.0625.

Comparación con la solución exacta:

y_{\text{exacta}}(2) = e^{2} \approx 7.389.

El error se debe a que Euler usa rectas (tangentes) para aproximar una curva que se “curva” cada vez más rápido. Si disminuimos $h$, la aproximación mejora, pero aumenta el costo computacional.

6. Métodos de mayor orden: vistazo rápido a Runge–Kutta (RK4)

Para mejorar la precisión sin hacer pasos extremadamente pequeños, se usan métodos de orden superior, como el método de Runge–Kutta de cuarto orden (RK4). La idea es combinar varias evaluaciones de la pendiente en cada paso para construir una mejor aproximación.

Dado $y' = f(x,y)$ y un paso $h$, se calcula:

\begin{aligned} k_1 &= f(x_n, y_n),\\ k_2 &= f\!\left(x_n + \frac{h}{2},\, y_n + \frac{h}{2}k_1\right),\\ k_3 &= f\!\left(x_n + \frac{h}{2},\, y_n + \frac{h}{2}k_2\right),\\ k_4 &= f(x_n + h,\, y_n + h k_3). \end{aligned}

y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}\big(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\big), \qquad x_{n+1} = x_n + h.

Este método tiene error global de orden $O(h^4)$, mucho menor que el error $O(h)$ de Euler. En la práctica, RK4 es uno de los métodos estándar para resolver EDOs en computadora.

7. Ejercicios propuestos

7.1. Ecuaciones separables

EDO separable básica.
Resolver: $\frac{dy}{dx} = 3x^2, \quad y(0) = 2.$ Explique por qué la ecuación es separable y cuáles son los pasos que sigue para integrar.
Separable con $y$ en el denominador.
Resolver: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{y}, \quad y(1) = 2.$ Describa con detalle cómo separa las variables y cómo maneja la raíz al final.
Modelo de enfriamiento de Newton (planteamiento y solución).
Un objeto se enfría según: $ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}}), $ donde $T_{\text{amb}}$ es constante.
- Escriba el PVI si inicialmente $T(0) = T_0$.
- Resuelva la EDO (es separable) y discuta qué ocurre cuando $t \to \infty$.

7.2. Ecuaciones lineales de primer orden

Lineal homogénea.
Resolver: $y' - 4y = 0,\quad y(0) = 5.$ Identifique $p(x)$, calcule el factor integrante y explique por qué el método lleva a una exponencial.
Lineal con término fuente.
Resolver: $y' + y = e^{-x},\quad y(0) = 0.$ Describa con detalle el uso del factor integrante.
Clasificación de EDO.
Clasifique cada una de las siguientes ecuaciones en: orden, si es lineal o no lineal, y si es separable:
1. $y' = x^2 + y^2$
2. $y' + 3y = \sin x$
3. $y' = x y$
Justifique brevemente cada clasificación.

7.3. Métodos numéricos

Euler vs solución exacta.
Para el PVI: $ y' = y,\quad y(0) = 1, $ use el método de Euler con paso $h = 0.25$ hasta $x=1$.
- Presente los valores aproximados $y_n$ en una tabla.
- Compare con la solución exacta $y(x)=e^x$ y calcule el error en $x=1$.
Implementación de Euler (pseudocódigo).
Escriba un pseudocódigo (o programa corto) que implemente el método de Euler para un PVI $y' = f(x,y)$ con datos de entrada $(x_0,y_0,h,N)$. Explique el papel de cada variable en el algoritmo.
Errores numéricos.
Explique con sus palabras la diferencia entre:
- Error local de truncamiento
- Error global
en el contexto del método de Euler.
Comparación Euler vs RK4 (análisis conceptual).
Para el mismo PVI del ejercicio 7, discuta (no es necesario calcular todo) por qué RK4 suele dar resultados mucho más precisos que Euler con el mismo tamaño de paso $h$. Mencione la idea de órdenes de error $O(h)$ vs $O(h^4)$.
Extensión a sistemas (pregunta abierta).
Investigue cómo se puede escribir un sistema de dos EDO de primer orden en forma vectorial, por ejemplo: $\begin{cases} x'(t) = f(t, x, y),\\ y'(t) = g(t, x, y), \end{cases}$ y explique cómo se podría adaptar el método de Euler para aproximar las soluciones $x(t)$ e $y(t)$ simultáneamente.

Canva

Presentación de la Unidad

Bienvenido a esta unidad. Aquí encontrarás toda la información y recursos necesarios para tu aprendizaje.

Cursos>Métodos Numéricos

🎯 Objetivos

📚 Información

🏆 Rendimiento

Presentación del curso

Enlaces de interés

Presentación de la Unidad

Aproximaciones y Errores de Redondeo

📌 Cifras Significativas

🔹 1. ¿Qué es una cifra significativa?

🔹 2. Reglas generales

✅ Reglas para contar

🔹 3. Ejemplos de conteo

🔹 4. Operaciones con cifras significativas

➕ y ➖ (suma y resta)

✖️ y ➗ (multiplicación y división)

🔹 5. Notación científica

🔹 6. Casos especiales

🔹 7. Ejemplos completos

Conteo directo:

Suma:

Multiplicación:

División:

Combinado:

📌 En resumen

Canva

Serie de Taylor y errores de truncamiento

📘 Serie de Taylor

🔹 1. Desarrollo conceptual

Intuición:

🔹 2. Formulación matemática

🔹 3. Importancia del error de truncamiento

Ejercicio 3: Serie de Maclaurin de \(\cos(x)\) hasta orden 4 \[

Ejercicio 5: Aproximación de \(\frac{1}{1-x}\) hasta orden 4 \[

Ejercicio 6: Aproximación de \(\arctan(x)\) hasta orden 5 \[

✅ Conclusiones

Raíces de ecuaciones: Métodos cerrados

Raíces de ecuaciones: Métodos cerrados

Sesión – Raíces de Ecuaciones: Métodos Cerrados

Objetivos de aprendizaje

1. Métodos Cerrados y Teorema del Valor Medio

Concepto de raíz

Teorema del Valor Medio

Error de aproximación

Ejemplo

Código en Python

3. Método de la Falsa Posición (Regula Falsi)

Idea

Ejemplo

Código en Python

Comparación rápida

Ejercicios propuestos

Método de la bisección y falsa posición

Método de la bisección y falsa posición

Funciones utilizadas

Funciones utilizadas

Prueba

Prueba

Sesión – Raíces de Ecuaciones: Métodos Cerrados

Objetivos de aprendizaje

1. Métodos Cerrados y Teorema del Valor Medio

Concepto de raíz

Teorema del Valor Medio

Error de aproximación

Ejemplo

Código en Python

3. Método de la Falsa Posición (Regula Falsi)

Idea

Ejemplo

Código en Python

Comparación rápida

Ejercicios propuestos

Métodos abiertos

Métodos abiertos

🌱 Sesión – Raíces de Ecuaciones: Métodos Abiertos

🎯 Objetivos de aprendizaje

1. Introducción a los métodos abiertos

Características principales

2. Método de Newton-Raphson

Concepto