Cursos>Ingeniería de Control II – A
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Espacio de Estados
Relación Espacio de Estados y F.T.
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Observadores lineales
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Introducción al control digital
Introducción al Control Digital
Concepto
El control digital implementa algoritmos en un computador o microcontrolador.
El lazo de control se modifica porque el controlador opera en tiempo discreto.
Arquitectura básica
r(t) → Σ → [Muestreador (A/D)] → C(z) → [Retenedor (ZOH, D/A)] → Planta G(s) → y(t)
Matemática
- Señal muestreada: $$ y[k] = y(kT_s) $$
- Señal reconstruida (ZOH): $$ u(t) = u[k], \quad kT_s \le t < (k+1)T_s $$
Ejemplo numérico
ADC de 12 bits, rango 0–5 V.
Resolución:
$$ q = \frac{5}{4095} \approx 0.00122\ \text{V} $$
Si la señal es 2.3456 V: $$ \text{valor digital} = \text{round}\left(\frac{2.3456}{q}\right) = 1922 $$ $$ \text{reconstrucción} = 1922 \cdot q \approx 2.346\ \text{V} $$
MATLAB
fs = 1000; Ts = 1/fs; t = 0:1e-5:0.01;
x = 1.5 + 0.5*sin(2*pi*50*t);
n = 0:Ts:0.01; xm = 1.5 + 0.5*sin(2*pi*50*n);
q = 5/4095; xd = round(xm/q)*q;
stairs(n,xd); hold on; stem(n,xm); plot(t,x,'k')Muestreo y retención de datos
Muestreo y retención de datos
Muestreo y Retención de Datos
Muestreo
Proceso de tomar valores cada \(T_s\): $$ y[k] = y(kT_s) $$
Teorema de Nyquist
$$ f_s \geq 2 f_{\max} $$
Retención (ZOH)
El D/A mantiene constante el valor: $$ u(t) = u[k], \quad kT_s \le t < (k+1)T_s $$
Ejemplo numérico (aliasing)
Señal: \(x(t)=\sin(2\pi f t)\), con \(f=5\ \text{Hz}\).
- Caso 1: \(f_s=20\ \text{Hz}\) → sin aliasing.
- Caso 2: \(f_s=8\ \text{Hz}\) → aliasing a 3 Hz.
Muestras: $$ x[n] = \sin(2\pi f n T_s) $$
Para \(f=5\ \text{Hz}, f_s=8\ \text{Hz}, T_s=0.125\): $$ x[n] = \sin(1.25\pi n) $$
MATLAB
f=5; t=0:1e-4:0.5; x=sin(2*pi*f*t);
fs1=20; Ts1=1/fs1; n1=0:Ts1:0.5; x1=sin(2*pi*f*n1);
fs2=8; Ts2=1/fs2; n2=0:Ts2:0.5; x2=sin(2*pi*f*n2);
subplot(2,1,1); stem(n1,x1); title('fs=20 Hz');
subplot(2,1,2); stem(n2,x2); title('fs=8 Hz');Muestreo y retención en Simulink
Muestreo y retención en Simulink
Actividad autónoma: muestreo y retención
Actividad autónoma: muestreo y retención
Ecuaciones en diferencias
Ecuaciones en Diferencias
Definición
$$ y[k] + a_1 y[k-1] + \dots + a_n y[k-n] = b_0 u[k] + b_1 u[k-1] + \dots + b_m u[k-m] $$
Ejemplo numérico
Sistema continuo: $$ \tau \dot y(t) + y(t) = K u(t) $$
Discretización Euler hacia adelante: $$ y[k+1] = \left(1 - \frac{T_s}{\tau}\right) y[k] + \frac{K T_s}{\tau} u[k] $$
Con \(K=2,\ \tau=0.2,\ T_s=0.05\): $$ y[k+1] = 0.75 y[k] + 0.5 u[k] $$ Primeras muestras con entrada escalón: - \(y[0]=0\) - \(y[1]=0.5\) - \(y[2]=0.875\) - \(y[3]=1.15625)
MATLAB
b=[0 0.5]; a=[1 -0.75];
u=ones(1,10);
y=filter(b,a,u)Transformada Z
Transformada Z
Definición
$$ X(z) = \sum_{n=0}^\infty x[n] z^{-n} $$
Propiedades
- Desplazamiento:
$$ \mathcal{Z}\{x[n-k]\} = z^{-k} X(z) $$ - Relación Laplace:
$$ z = e^{sT_s} $$
Ejemplo numérico
Secuencia \(x[n] = (0.5)^n\): $$ X(z) = \frac{1}{1 - 0.5 z^{-1}}, \quad |z| > 0.5 $$
MATLAB
syms n z
x=(0.5)^n;
Xz=ztrans(x,n,z)Discretización de sistemas continuos
Discretización de sistemas continuos
Discretización de Sistemas Continuos
Métodos
Euler hacia adelante:
$$ y[k+1] = y[k] + T_s f(y[k],u[k]) $$Euler hacia atrás:
$$ y[k+1] = y[k] + T_s f(y[k+1],u[k+1]) $$Tustin (bilineal):
$$ s \approx \frac{2}{T_s} \cdot \frac{z-1}{z+1} $$ZOH: mantiene entrada constante en cada intervalo.
Ejemplo numérico
Sistema:
$$ G(s) = \frac{1}{s+2}, \quad T_s=0.1 $$
ZOH:
$$ G(z) = \frac{0.18127 z^{-1}}{1 - 0.81873 z^{-1}} $$
Tustin:
$$ G(z) = \frac{0.04545(1+z^{-1})}{1 - 0.81818 z^{-1}} $$
MATLAB
s=tf('s'); G=1/(s+2); Ts=0.1;
Gzoh=c2d(G,Ts,'zoh')
Gtustin=c2d(G,Ts,'tustin')Discretización
Discretización
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