Ingeniería de Control II – B

Por /

Cursos>Ingeniería de Control II – B

AULA B
Ingeniería de Control II – B
📚 Información
📚 Unidades: 3
📅 Período: 2025-II
🔖 Código: JUEVES
🏫 AULA B

Presentación del curso

0
Visualizaciones
14
Estudiantes totales
14
Estudiantes actuales

Presentación de la Unidad

Bienvenido a esta unidad. Aquí encontrarás toda la información y recursos necesarios para tu aprendizaje.

Tiempo continuo VS Tiempo Discreto

Tiempo continuo VS Tiempo Discreto

Espacio de Estados

Espacio de Estados

Espacio de Estados en MATLAB

Espacio de Estados en MATLAB

Canva

Canva

Observadores lineales

Presentación de la Unidad

Bienvenido a esta unidad. Aquí encontrarás toda la información y recursos necesarios para tu aprendizaje.

Introducción al control digital

6.1 Introducción al Control Digital

Concepto

Un sistema de control digital utiliza un controlador que trabaja con señales discretas en el tiempo. El flujo típico es:

  • Entrada analógica: \( r(t) \) (por ejemplo, posición deseada).
  • Muestreo A/D: convierte la señal continua en muestras \( r[k] \) a intervalos \( T_s \).
  • Controlador digital: calcula la acción de control \( u[k] \) usando ecuaciones en diferencias.
  • D/A + retención (ZOH): mantiene cada \( u[k] \) constante entre dos muestras para que la planta continua pueda recibirla.

Elementos principales

  • Período de muestreo: \( T_s \) (segundos).
  • Índice discreto: \( k \), representa el instante \( t = kT_s \).
  • Error muestreado: \( e[k] = r[k] - y[k] \).
  • Controlador: \( u[k] = C(z) e[k] \).

Ejemplo numérico básico

Supón que el controlador digital es proporcional: $$ u[k] = K_p \, e[k] $$

Si:

  • \( K_p = 2 \)
  • \( e[0] = 1.5 \), \( e[1] = 1.0 \), \( e[2] = 0.5 \)

Entonces: $$ \begin{array}{l} u[0] = 2 \times 1.5 = 3.0 \\ u[1] = 2 \times 1.0 = 2.0 \\ u[2] = 2 \times 0.5 = 1.0 \end{array} $$

Observación

A medida que el error decrece, el controlador entrega valores menores cada período de muestreo.

Muestreo y retención de datos

Muestreo y retención de datos

6.2 Muestreo y Retención de Datos (ZOH)

Muestreo

Consiste en tomar el valor de una señal continua en instantes discretos: $$ x[k] = x(k T_s) $$

El Teorema de Nyquist–Shannon establece: $$ f_s \ge 2 f_{\max} $$ donde \( f_s = \frac{1}{Ts} \) es la frecuencia de muestreo y \( f{\max} \) la frecuencia máxima de la señal.

Si no se cumple → ocurre aliasing (frecuencias altas se “confunden” con bajas).

Retención (ZOH)

El bloque de Zero-Order Hold convierte la señal discreta en continua por escalones: $$ u(t) = u[k], \quad kT_s \le t < (k+1)T_s $$

Ejemplo de muestreo

Señal continua: $$ x(t) = \sin(2\pi \cdot 1\, t) $$

Muestreo con:

  • \( T_s = 0.1\,\mathrm{s} \) → \( f_s = 10\,\mathrm{Hz} \) (correcto).
  • \( T_s = 0.5\,\mathrm{s} \) → \( f_s = 2\,\mathrm{Hz} \) (insuficiente si la señal tiene 1 Hz, genera aliasing).

Ejemplo con ZOH

Supón que el controlador entrega:

  • \( u[0] = 1.0 \)
  • \( u[1] = 0.8 \)
  • \( u[2] = 0.5 \) con \( T_s = 0.1\,\mathrm{s} \).

El ZOH mantiene cada valor constante por 0.1 s → en el osciloscopio se ve una escalera.

Implementación en Simulink

  • Bloque: Zero-Order Hold
  • Ajusta Sample time = \( T_s \)

Actividad autónoma: muestreo y retención

Actividad autónoma: muestreo y retención

Ecuaciones en diferencias

6.3 Ecuaciones en Diferencias

Concepto

Una ecuación en diferencias describe la relación entre la entrada y salida de un sistema discreto:

$$ y[k] = a_1 y[k-1] + a_2 y[k-2] + \dots + b_0 x[k] + b_1 x[k-1] + \dots $$

Ejemplo sencillo

Sistema: $$ y[k] = 0.5\,y[k-1] + x[k] $$

Si:

  • \( y[0] = 0 \)
  • Entrada: \( x[k] = 1 \) (escalón unitario)

Calculamos:

  • \( y[1] = 0.5 \cdot 0 + 1 = 1.0 \) - \( y[2] = 0.5 \cdot 1 + 1 = 1.5 \)
  • \( y[3] = 0.5 \cdot 1.5 + 1 = 1.75 )
  • y así sucesivamente, tiende a 2.

Ejemplo en MATLAB


b = [1];        % coeficientes de x[k]
a = [1 -0.5];   % y[k] - 0.5*y[k-1] = x[k]
x = ones(1,20); % entrada escalón
y = filter(b,a,x);
stem(y)

Transformada Z

6.4 Transformada Z (MATLAB: c2d, ztrans)


# 6.4 Transformada Z

## Concepto
La **Transformada Z** de una secuencia \( x[k] \) es:
$$ X(z) = \sum_{k=0}^{\infty} x[k]\, z^{-k} $$

Permite analizar sistemas discretos igual que la Transformada de Laplace para sistemas continuos.

## Propiedades clave
- Muestreo de una exponencial: si \( x(t) = e^{at} \), entonces \( x[k] = e^{a k T_s} \).
- La Z-transformada de \( x[k] = \alpha^k \) es:
$$ X(z) = \frac{1}{1 - \alpha z^{-1}} $$

## Ejemplo básico
Entrada escalón: \( x[k] = 1 \)
$$ X(z) = \frac{z}{z-1} $$

## Uso en MATLAB
- `ztrans(x_sym)` para calcular simbólicamente.
- `c2d(sys, Ts, 'zoh')` convierte un modelo continuo a discreto.

## Ejemplo MATLAB
```matlab
s = tf('s');
G = 1/(s+1);      % planta continua
Ts = 0.1;
Gd = c2d(G, Ts, 'zoh');  % equivalente discreto
Gd

Discretización de sistemas continuos

Discretización de sistemas continuos

6.5 Discretización de sistemas continuos (Tustin, Euler, ZOH)


# 6.5 Discretización de Sistemas Continuos

## Concepto
Al implementar un controlador continuo en un computador se requiere una **aproximación discreta**.
Los métodos más comunes:

### 1. Euler hacia adelante
Aproximación de derivada:
$$ s \approx \frac{z-1}{T_s} $$

### 2. Euler hacia atrás
$$ s \approx \frac{1 - z^{-1}}{T_s} $$

### 3. Tustin (bilineal)
$$ s \approx \frac{2}{T_s} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} $$

### 4. ZOH
Utiliza la equivalencia exacta basada en mantener la entrada constante entre muestras.

## Ejemplo
Planta:
$$ G(s) = \frac{1}{s+1} $$

Tiempo de muestreo:
- \( T_s = 0.1\,\mathrm{s} \)

En MATLAB:
```matlab
s = tf('s');
G = 1/(s+1);
Ts = 0.1;
Gd_zoh    = c2d(G, Ts, 'zoh');
Gd_tustin = c2d(G, Ts, 'tustin');
Gd_euler  = c2d(G, Ts, 'forward');

Discretización

Discretización

Presentación de la Unidad

Bienvenido a esta unidad. Aquí encontrarás toda la información y recursos necesarios para tu aprendizaje.

Mis notas del tema