Sesión: Matriz inversa por la adjunta (cofactores)

1) Idea principal

Queremos “deshacer” el efecto de una matriz $A$. La herramienta que lo logra se llama inversa y se escribe $A^{-1}$. Si existe, se cumple:

Para calcular $A^{-1}$ con cofactores (adjunta) usamos la fórmula:

donde $\mathrm{Adj}(A)$ es la adjunta (o adjugada) de $A$.

2) ¿Qué es un cofactor?

Para cada posición $(i,j)$ de la matriz $A=[a_{ij}]$:

1. Tapar la fila $i$ y la columna $j$ de $A$. Lo que queda es el menor $M_{ij}$ (la submatriz que queda al quitar esa fila y esa columna).
2. Calcular el determinante de ese menor: $\det(M_{ij})$.
3. Aplicar el signo de tablero de ajedrez: $$C_{ij}=(-1)^{i+j}\,\det(M_{ij}).$$

La matriz de cofactores es $C=[C_{ij}]$ y la adjunta es su transpuesta: $$\mathrm{Adj}(A)=C^{\mathsf T}.$$

Patrón de signos (4×4)

3) Algoritmo por adjunta

1. Verifica que $A$ es cuadrada y $\det(A)\neq 0$ (si $\det(A)=0$, no hay inversa).
2. Para cada $a_{ij}$:
   • Quita la fila $i$ y la columna $j$ para obtener el menor $M_{ij}$.
   • Calcula el cofactor $C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij})$.
3. Forma $C=[C_{ij}]$ (matriz de cofactores).
4. Transpón $C$ para obtener la adjunta: $\mathrm{Adj}(A)=C^{\mathsf T}$.
5. Calcula la inversa con $$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{Adj}(A).$$

4) Ejemplo 2×2

Sea $$A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix},\qquad \det(A)=ad-bc.$$

La adjunta es $$\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}.$$

La inversa: $$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}.$$

Ejemplo concreto: $A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$. Entonces:

• $\det(A)=2\cdot 3-1\cdot 5=1$
• $\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$
• $A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$

5) Ejemplo 3×3

Sea $$A=\begin{pmatrix} 1&2&0\\ 0&1&1\\ 2&0&1 \end{pmatrix}.$$

Determinante: $$\det(A)=5\quad(\neq 0)\ \Rightarrow\ A^{-1}\ \text{existe}.$$

Algunos cofactores ilustrativos:

• $C_{11}$: El menor $M_{11}$ se obtiene quitando fila 1 y columna 1: $$M_{11}=\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1.$$ Como $(-1)^{1+1}=+$, $C_{11}=1.$
• $C_{12}$: Quitando fila 1 y col 2: $$M_{12}=\begin{vmatrix}0&1\\2&1\end{vmatrix}=0\cdot 1-1\cdot 2=-2.$$ Aquí $(-1)^{1+2}=-$, entonces $C_{12}=-(-2)=2.$
• $C_{13}$: Quitando fila 1 y col 3: $$M_{13}=\begin{vmatrix}0&1\\2&0\end{vmatrix}=0\cdot 0-1\cdot 2=-2.$$ Aquí $(-1)^{1+3}=+$, entonces $C_{13}=-2.$

Todos los cofactores dan: $$C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\ -2 & 1 & 4\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Adjunta e inversa: $$\mathrm{Adj}(A)=C^{\mathsf T}= \begin{pmatrix} 1&-2& 2\\ 2& 1&-1\\ -2& 4& 1 \end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1&-2& 2\\ 2& 1&-1\\ -2& 4& 1 \end{pmatrix}.$$

6) Ejemplo 4×4 (diagonal para entender el patrón)

Considera la matriz diagonal $$A=\mathrm{diag}(1,2,3,4)= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&3&0\\ 0&0&0&4 \end{pmatrix}.$$

El determinante es $$\det(A)=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24.$$

En una diagonal:

• Los cofactores fuera de la diagonal son $0$.
• En la diagonal, el cofactor $C_{ii}$ es el producto de las otras tres entradas diagonales (con signo $+$).

7) ¿Qué es “mejor” o más fácil?

• Método de la adjunta (cofactores): excelente para aprender la teoría y para matrices pequeñas (2×2, 3×3). Te muestra qué es un menor, qué es un cofactor, cómo se arma la adjunta y cómo aparece la inversa.
• Método de Gauss–Jordan: es el método práctico y más estable numéricamente para matrices más grandes. Es el que se usa en la vida real (MATLAB, Python/NumPy internamente usan variantes de eliminación).

Resumen: adjunta en 2×2 y 3×3 (teórico, conceptual). Para 4×4 y superiores, usa Gauss–Jordan.

8) MATLAB: Cálculo y verificación de la inversa

8.1 Caso 2×2 en MATLAB

Tomemos $A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$. Vamos a:

• Calcular su determinante.
• Construir la adjunta “a mano”.
• Calcular $A^{-1}$ con la fórmula de la adjunta.
• Verificar que $A \cdot A^{-1} = I$.

% Ejemplo 2x2
A = [2 1;
     5 3];

% determinante
detA = det(A);

% adjunta "a mano" para 2x2
AdjA = [ A(2,2)   -A(1,2);
        -A(2,1)    A(1,1) ];

A_inv_adj = (1/detA) * AdjA;

disp('Inversa por adjunta (2x2):');
disp(A_inv_adj);

% Verificación
I_check = A * A_inv_adj;
disp('A * A_inv_adj (debe ser identidad):');
disp(I_check);

% Comparación con inv(A)
A_inv_builtin = inv(A);
disp('Inversa con inv(A):');
disp(A_inv_builtin);

Comentarios importantes:

• det(A) calcula el determinante.
• inv(A) es la inversa directa de MATLAB (usa álgebra numérica eficiente).
• A * A_inv_adj debe darnos la identidad (o muy cerca, con posible pequeño error numérico).

8.2 Caso 3×3 en MATLAB (cofactores generales)

Ahora usamos la misma matriz 3×3 del ejemplo anterior: $$A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\2&0&1\end{pmatrix}.$$

Vamos a construir la matriz de cofactores usando bucles, luego la adjunta y al final la inversa. Este código es más largo, pero didáctico porque muestra el proceso completo de la adjunta.

% Ejemplo 3x3
A = [1 2 0;
     0 1 1;
     2 0 1];

n = size(A,1);      % n = 3
C = zeros(n);       % matriz de cofactores

for i = 1:n
    for j = 1:n
        % Construir el menor M_ij eliminando fila i y col j
        rows = [1:i-1, i+1:n];
        cols = [1:j-1, j+1:n];
        M_ij = A(rows, cols);

        % cofactor C_ij = (-1)^(i+j) * det(M_ij)
        C(i,j) = (-1)^(i+j) * det(M_ij);
    end
end

% Adjunta = traspuesta de C
AdjA = C.';

% determinante de A
detA = det(A);

% inversa por adjunta
A_inv_adj = (1/detA) * AdjA;

disp('Matriz de cofactores C (3x3):');
disp(C);

disp('Adjunta de A (3x3):');
disp(AdjA);

disp('Inversa por adjunta (3x3):');
disp(A_inv_adj);

% Verificación
I_check = A * A_inv_adj;
disp('A * A_inv_adj (debe ser identidad):');
disp(I_check);

% Comparación con inv(A)
A_inv_builtin = inv(A);
disp('Inversa con inv(A):');
disp(A_inv_builtin);

Qué se aprende aquí:

• Cómo extraer el menor $M_{ij}$ eliminando una fila y una columna.
• Cómo armar todos los cofactores $C_{ij}$.
• Que la adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores.
• Que la inversa por adjunta coincide con inv(A).

8.3 Caso 4×4 en MATLAB (diagonal y validación)

Para una matriz más grande, hacer cofactores “a mano” es pesado. Pero con una matriz diagonal podemos confirmar fácilmente la teoría.

Tomemos $$A=\mathrm{diag}(1,2,3,4).$$ Su inversa debe ser $$A^{-1}=\mathrm{diag}\!\left(1,\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14\right).$$

% Ejemplo 4x4 (diagonal)
A = diag([1 2 3 4]);

% inversa teórica de diag(d1,d2,d3,d4) es diag(1/d1,1/d2,1/d3,1/d4)
A_inv_manual = diag([1 1/2 1/3 1/4]);

disp('Inversa teórica (4x4 diagonal):');
disp(A_inv_manual);

% Comparación con inv(A)
A_inv_builtin = inv(A);
disp('Inversa con inv(A):');
disp(A_inv_builtin);

% Verificación
I_check = A * A_inv_manual;
disp('A * A_inv_manual (debe ser identidad):');
disp(I_check);

Lecciones aquí:

• En una matriz diagonal, los cofactores fuera de la diagonal son $0$.
• La inversa es muy fácil: basta con invertir cada número de la diagonal.
• Para matrices 4×4 generales (no diagonales), hacer todos los cofactores ya es muy largo para clase. Ahí se recomienda pasar a Gauss–Jordan o usar inv(A).

9) Conclusión final

• La fórmula con cofactores y adjunta: $$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{Adj}(A)$$ es perfecta para entender la teoría y para matrices pequeñas.
• MATLAB permite:
  • Calcular inversas directamente con inv(A).
  • Construir la inversa paso a paso (cofactores, adjunta) para ver el proceso.
  • Verificar la respuesta multiplicando $A \cdot A^{-1}$ y comprobando que es (casi) la identidad.
• A partir de cierto tamaño (4×4, 5×5, ...), lo profesional es usar métodos numéricos (Gauss–Jordan / descomposiciones que MATLAB ya implementa).

Concepto: La ecuación general o implícita de una recta en el plano es: $$Ax + By + C = 0,$$ donde \(A,B,C \in \mathbb{R}\), no simultáneamente \(A=B=0\).

Formulación matemática

• Si \(B \neq 0\), forma explícita: $$y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}.$$
• Pendiente: $$m = -\frac{A}{B}.$$
• Cortes con ejes:
  Con eje \(y\): \(x=0\),
  Con eje \(x\): \(y=0\).

Ejercicios resueltos (3)

1. Ejemplo 1: Dada la recta:

   $$2x - 3y + 6 = 0,$$

   hallar su forma explícita y su pendiente.

   Solución:

   $$2x - 3y + 6 = 0 \Rightarrow -3y = -2x - 6 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x + 2.$$

   Pendiente: \(m = \tfrac{2}{3}\).

2. Ejemplo 2: Verifica si el punto \(P(3,-1)\) pertenece a:

   $$x + y - 2 = 0.$$

   Solución:

   $$3 + (-1) - 2 = 0 \Rightarrow 0=0.$$ Sí pertenece.

3. Ejemplo 3: Recta paralela a \(4x + 2y - 5 = 0\) que pasa por \((1,-3)\).

   Solución:

   Rectas paralelas → mismo \(A\) y \(B\):

   $$4x + 2y + C = 0.$$ Sustituyendo \((1,-3)\): $$4(1)+2(-3)+C=0 \Rightarrow 4-6+C=0 \Rightarrow C=2.$$

   Respuesta: $$4x + 2y + 2 = 0.$$

Ejercicios propuestos (8)

1. Convertir a explícita: \(3x + 2y - 12 = 0\).
2. Verifica si \((4,1)\) pertenece a \(5x - y - 19 = 0\).
3. Recta paralela a \(6x - 3y + 9 = 0\) que pasa por \((-2,4)\).
4. Determina relación entre \(2x + y - 5 = 0\) y \(4x + 2y + 1 = 0\).
5. Encuentra intersección entre \(x - 2y + 1 = 0\) y \(3x + y - 7 = 0\).
6. Recta con pendiente \(-\tfrac{3}{2}\) y corte en \(b=3\).
7. Ángulo con eje \(x\) de \(y=-2x+5\).
8. Reduce \(10x + 5y - 15 = 0\).

Concepto: La ecuación con pendiente \(m\) y punto \((x_1,y_1)\) es: $$y - y_1 = m(x - x_1).$$

Ejercicios resueltos (3)

1. Ejemplo 1: Hallar la recta con \(m=2\) que pasa por \((1,3)\).

   Solución:

   $$y - 3 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x + 1.$$

2. Ejemplo 2: Hallar la recta por \(A(2,5)\) y \(B(4,1)\).

   $$m = \frac{1-5}{4-2} = -2.$$ Tomando \(A\): $$y - 5 = -2(x - 2) \Rightarrow y = -2x + 9.$$

3. Ejemplo 3: Recta perpendicular a \(y=\tfrac12 x - 4\) que pasa por \((0,0)\).

   Pendiente perpendicular: \(m_\perp=-2.\) $$y = -2x.$$

Ejercicios propuestos (8)

1. Recta con \(m=-3\) pasando por \((2,-1)\).
2. Recta por \((5,2)\) y \((1,-6)\).
3. Recta paralela a \(y=4x+7\) pasando por \((-3,1)\).
4. Recta perpendicular a \(2x-3y+6=0\) pasando por \((3,3)\).
5. Escribe las tres formas (punto–pendiente, explícita, general) para \(m=\tfrac34\) y punto \((4,-2)\).
6. Encuentra \(m\) si la recta por \((1,2)\) corta al eje \(y\) en \(b=5\).
7. Recta por \((a,b)\) con pendiente \(m\).
8. Recta con pendiente que forma \(60^\circ\) con eje \(x\) y pasa por \((-1,4)\).

Concepto: La forma es: $$y = mx + b,$$ donde \(m\) es la pendiente y \(b\) es la ordenada al origen.

Ejercicios resueltos (3)

1. Ejemplo 1: Para \(m=-\tfrac23\) y \(b=4\):

   $$y = -\tfrac23 x + 4.$$

2. Ejemplo 2: Recta por \((2,3)\) y \((5,-3)\).

   $$m = \frac{-3 - 3}{5 - 2} = -2,$$ $$b = 3 - (-2)(2) = 7 \Rightarrow y = -2x + 7.$$

3. Ejemplo 3: Si forma \(45^\circ\) con el eje \(x\) y pasa por \((0,-1)\):

   $$m = \tan 45^\circ = 1, \quad y = x - 1.$$

Ejercicios propuestos (8)

1. Explicar en forma \(y=mx+b\): \(3x - 2y + 8 = 0\).
2. Recta por \((1,2)\) y \((4,8)\).
3. Halla \(m\) y \(b\) si corta al eje \(x\) en 6 y pasa por \((0,-3)\).
4. Recta paralela a \(y=\tfrac12 x-1\) que pasa por \((2,5)\).
5. Recta con \(m=-1\) pasando por \((3,3)\).
6. Recta por \((-2,0)\) y \((0,4)\).
7. Halla \(b\) si \(m=3\) y pasa por \((\tfrac12,2)\).
8. Transforma \(y=5x-7\) a general y halla corte con eje \(x\).

Concepto: $$d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.$$

Ejercicios resueltos (3)

1. Ejemplo 1: Distancia entre \(P_1(1,2)\) y \(P_2(5,5)\).

   $$\Delta x = 4, \quad \Delta y = 3 \Rightarrow d=\sqrt{4^2+3^2}=5.$$

2. Ejemplo 2: Distancia entre \((-3,4)\) y \((0,0)\):

   $$d=\sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5.$$

3. Ejemplo 3: Distancia entre \( \left(\tfrac12,\tfrac32\right)\) y \(\left(\tfrac52,-\tfrac12\right)\).

   $$\Delta x = 2, \quad \Delta y = -2 \Rightarrow d = \sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}.$$

Ejercicios propuestos (8)

1. \(P(2,-1)\), \(Q(7,3)\).
2. Puntos del eje \(y\) a distancia 5 de \((4,3)\).
3. Halla \(k\) si distancia entre \((k,2)\) y \((5,-2)\) es 6.
4. Punto medio entre \((-3,4)\) y \((5,-2)\) y verifica distancias.
5. Distancia entre \((-3/2,1/2)\) y \((1/2,-5/2)\).
6. Radio de circunferencia centrada en \((1,-1)\) que pasa por \((4,3)\).
7. Puntos \((x,y)\) cuya distancia a \((0,2)\) es 3.
8. Lados de triángulo con puntos \(A(0,0)\), \(B(6,0)\), \(C(3,4)\).

Concepto: Una recta en 3D se expresa como $$\vec{r}(t) = \vec{P_0} + t\,\vec{v},$$ con $$\vec{P_0}=(x_0,y_0,z_0),\quad \vec{v}=(a,b,c),\quad t\in\mathbb{R},$$ lo que equivale a $$x = x_0 + a t,\quad y = y_0 + b t,\quad z = z_0 + c t.$$

Ejercicios resueltos (3)

1. Ejemplo 1: Dada \(\vec{P_0}=(1,-2,0)\) y \(\vec{v}=(2,1,3)\), escribir la ecuación paramétrica y graficar.

   $$x=1+2t,\quad y=-2+t,\quad z=3t.$$

2. Ejemplo 2: ¿El punto \(Q(5,0,6)\) pertenece a la recta del ejemplo anterior?

   Resolvemos \(1+2t=5\Rightarrow t=2\). Verificamos \(y=-2+2=0,\ z=3\cdot2=6\). Sí, \(Q\in\ell\).

3. Ejemplo 3: Dar un punto distinto de \(P_0\) en la recta y verificarlo.

   Con \(t=1\Rightarrow (3,-1,3)\). Verificación inmediata en la forma paramétrica.

Ejercicios propuestos (8)

1. Para \(P_0=(0,1,-2)\), \(\vec{v}=(1,-2,1)\): escribe su forma paramétrica.
2. Da un punto de la recta anterior para \(t=-3\).
3. ¿El punto \((5,-1,1)\) pertenece a la recta del ítem 1?
4. Esboza mentalmente la dirección de \(\vec{v}=(0,1,2)\) y qué eje "pesa" más.
5. Encuentra \(t\) tal que \(x=7\) en \(x=1+2t\).
6. Para \(\vec{v}=(3,0,0)\) ¿qué recta es? (describe su orientación).
7. Halla un vector paralelo y uno antiparalelo a \(\vec{v}=(2,1,3)\).
8. Describe el efecto de duplicar \(\vec{v}\) sobre la misma recta.

Vectorial: \(\vec{r}=\vec{P_0}+t\,\vec{v}\).
Simétrica (si \(a,b,c\neq0\)): $$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.$$

Ejercicios resueltos (3)

1. Ejemplo 1: Convertir \(\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{1}\) a forma paramétrica y graficar.

   Tomando \(t\) común: \(x=2- t,\ y=-1+2t,\ z=3+t\).
   \(P_0=(2,-1,3),\ \vec{v}=(-1,2,1)\).

2. Ejemplo 2: Señala cuándo la forma simétrica no es válida y cómo resolver.

   Si alguno de \(a,b,c=0\), la fracción correspondiente no existe. Se trabaja con el par restante y la coordenada constante (p.e., \(a=0\Rightarrow x=x_0\)).

3. Ejemplo 3: Verifica que las tres formas describen la misma recta.

   Igualando y eliminando \(t\) se recupera la simétrica desde la paramétrica, y viceversa.

Ejercicios propuestos (8)

1. Convierte \(\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z}{4}\) a forma paramétrica.
2. Indica un punto de la recta anterior para \(t=2\).
3. ¿Qué pasa si \(b=0\) en la simétrica? Escribe la recta.
4. Obtén \(\vec{v}\) a partir de la simétrica \(\frac{x-4}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-2}\).
5. Convierte a vectorial: \(x=5-2t,\ y=1+0t,\ z=-1+4t\).
6. Da un punto fuera de la recta y verifica por contradicción.
7. Explica por qué escalar \(\vec{v}\) no cambia la recta.
8. Expresa la recta con \(x=0\) y \(y=2+t\), \(z=3t\) en forma simétrica.

Concepto: Dado \(A(x_1,y_1,z_1)\) y \(B(x_2,y_2,z_2)\), $$\vec{v} = \overrightarrow{AB} = (x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1),\quad \vec{r}(t)=\vec{A}+t\,\vec{v}.$$

Ejercicios resueltos (3)

1. Ejemplo 1: Para \(A=(0,1,-2),\ B=(3,2,1)\) obtener la recta y graficar línea y segmento \(AB\).

   \(\vec{v}=B-A=(3,1,3)\Rightarrow x=3t,\ y=1+t,\ z=-2+3t\).

2. Ejemplo 2: Verifica que \(A\) y \(B\) pertenecen a la recta sustituyendo \(t=0\) y \(t=1\).

3. Ejemplo 3: Da un punto medio del segmento y verifica que pertenece a la recta (para \(t=\tfrac{1}{2}\)).

Ejercicios propuestos (8)

1. Recta por \(C=(1,0,0)\) y \(D=(2,3,1)\).
2. Da \(\vec{v}\) y un punto de la recta anterior.
3. Verifica pertenencia de \(E=(5,?,?)\) que esté alineado con \(CD\).
4. Describe geométricamente la recta si \(C=(0,0,0)\) y \(D=(0,0,5)\).
5. Encuentra un vector normal a un plano que contenga la recta.
6. Escribe la forma simétrica si todos los componentes de \(\vec{v}\) son no nulos.
7. Halla un punto de parámetro \(t=-2\).
8. ¿Qué condición hace colineales a tres puntos?

Conceptos: - Paralelas: vectores directores proporcionales.
- Secantes: existe \(t,s\) tal que \(\vec{P_1}+t\vec{v_1}=\vec{P_2}+s\vec{v_2}\).
- Alabeadas (skew): no son paralelas ni se cortan.

Ejercicio resuelto

Sean \(\ell_1: P_1=(0,0,0),\ \vec{v_1}=(1,2,1)\) y \(\ell_2: P_2=(0,1,0),\ \vec{v_2}=(1,0,2)\).

No son paralelas (vectores no proporcionales). Para intersección exigir \(t=s\) por \(x\), \(2t=1\) por \(y\Rightarrow t=\tfrac{1}{2}\), y \(t=2s\) por \(z\Rightarrow \tfrac{1}{2}=1\) contradicción. Son alabeadas.

Ejercicios propuestos (8)

1. Determina si \(\vec{v_1}=(2,-1,0)\) y \(\vec{v_2}=(4,-2,0)\) son paralelos.
2. Comprueba si \(\ell_1: x=1+t, y=2-t, z=3\) y \(\ell_2: x=4+s, y=1+2s, z=3\) se cortan.
3. Da un ejemplo de rectas alabeadas distintas a las del ejemplo.
4. Encuentra el parámetro donde dos rectas secantes se cruzan (si existe).
5. Describe cuándo dos rectas coplanares son necesariamente secantes o paralelas.
6. Para \(\ell: x=2, y=-1+3t, z=1-t\), ¿qué planos coord. corta?
7. Escribe la recta paralela a \(\ell\) que pasa por \((0,0,0)\).
8. ¿Cómo detectar coplanaridad usando un determinante con \(\vec{v_1},\vec{v_2}\) y \(\overrightarrow{P_1P_2}\)?

Concepto: Dada una recta en forma general \(Ax + By + C = 0\) y un punto \(P(x_0, y_0)\), la distancia del punto a la recta es: $$d(P,L) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$$

Formulación matemática

• El numerador mide el "desbalance" del punto respecto a la ecuación de la recta.
• El denominador es el factor de normalización que convierte esa medida en distancia real.
• La distancia es siempre un valor positivo o cero.
• Si \(d = 0\), el punto pertenece a la recta.

Ejercicios resueltos (3)

1. Ejemplo 1: Calcular la distancia del punto \(P(2, -1)\) a la recta:

   $$3x - 4y + 2 = 0.$$

   Solución:

   Sustituimos \(A=3\), \(B=-4\), \(C=2\), \(x_0=2\), \(y_0=-1\):

   $$d = \frac{|3(2) - 4(-1) + 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 4 + 2|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{12}{5} = 2.4.$$

2. Ejemplo 2: Distancia de \(P(-1, 3)\) a la recta \(x + 2y - 4 = 0\).

   Solución:

   Sustituimos \(A=1\), \(B=2\), \(C=-4\), \(x_0=-1\), \(y_0=3\):

   $$d = \frac{|1(-1) + 2(3) - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-1 + 6 - 4|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447.$$

3. Ejemplo 3: Verifica si \(P(1,2)\) pertenece a la recta \(2x - y = 0\).

   Solución:

   Calculamos la distancia:

   $$d = \frac{|2(1) - 1(2) + 0|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 2|}{\sqrt{5}} = \frac{0}{\sqrt{5}} = 0.$$

   Como \(d = 0\), el punto pertenece a la recta.

Ejercicios propuestos (8)

1. Distancia de \(P(3,1)\) a \(2x + y - 5 = 0\).
2. Distancia de \(P(-2,4)\) a \(x - 3y + 6 = 0\).
3. Distancia de \(P(0,0)\) a \(4x - 3y + 12 = 0\).
4. Encuentra un punto a distancia exactamente 2 de \(x + y - 3 = 0\).
5. Demuestra que los puntos \((t, t+1)\) tienen distancia constante a \(x - y + 1 = 0\).
6. Punto más cercano sobre \(3x + 4y - 7 = 0\) al punto \((-1, 2)\).
7. Distancia entre \(P(0,b)\) y la recta \(y = mx\).
8. Verifica si \((5,1)\) está dentro del círculo de radio 3 centrado en la recta \(x - 2y + 1 = 0\).

Concepto: La distancia entre dos rectas en el plano es la menor distancia entre cualquier punto de una recta y cualquier punto de la otra. Solo existe distancia positiva cuando las rectas son paralelas y distintas: $$d(L_1,L_2) = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}},$$ donde las rectas son \(L_1: Ax + By + C_1 = 0\) y \(L_2: Ax + By + C_2 = 0\).

Formulación matemática

• Si las rectas son paralelas y distintas: \(d > 0\) (fórmula aplicable).
• Si las rectas se intersectan: \(d = 0\).
• Si las rectas son coincidentes: \(d = 0\).
• Para aplicar la fórmula, las rectas deben tener la misma forma \(Ax + By + C = 0\) con igual \(A\) y \(B\).

Ejercicios resueltos (3)

1. Ejemplo 1: Calcular la distancia entre las rectas paralelas:

   $$L_1: 2x - 3y + 6 = 0 \quad \text{y} \quad L_2: 2x - 3y - 4 = 0.$$

   Solución:

   Las rectas tienen \(A = 2\), \(B = -3\), con \(C_1 = 6\) y \(C_2 = -4\):

   $$d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|-4 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{10}{\sqrt{13}} \approx 2.77.$$

2. Ejemplo 2: Distancia entre \(L_1: x - 2y + 1 = 0\) y \(L_2: x - 2y - 5 = 0\).

   Solución:

   Tenemos \(A = 1\), \(B = -2\), con \(C_1 = 1\) y \(C_2 = -5\):

   $$d = \frac{|-5 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{6}{\sqrt{5}} \approx 2.68.$$

3. Ejemplo 3: Verificar si las rectas \(L_1: y = x + 1\) y \(L_2: y = -2x + 4\) tienen distancia cero.

   Solución:

   Las pendientes son \(m_1 = 1\) y \(m_2 = -2\), por lo que no son paralelas.

   Al no ser paralelas, las rectas se intersectan, por lo tanto:

   $$d(L_1, L_2) = 0.$$

Ejercicios propuestos (8)

1. Distancia entre \(3x - 4y + 2 = 0\) y \(3x - 4y - 10 = 0\).
2. Distancia entre \(-x + y + 1 = 0\) y \(-x + y - 5 = 0\).
3. Verifica si \(2x + y - 3 = 0\) y \(4x + 2y + 1 = 0\) son paralelas y calcula su distancia.
4. Distancia entre \(5x - 12y + 7 = 0\) y \(5x - 12y - 13 = 0\).
5. Encuentra rectas \(Ax + By + C_1 = 0\) y \(Ax + By + C_2 = 0\) con distancia exacta \(d = 3\).
6. Demuestra que \(x + 2y - 4 = 0\) y \(2x + 4y - 8 = 0\) son coincidentes.
7. Rectas paralelas por \(A(0,1)\) y \(B(0,4)\) con pendiente \(m = 2\). Calcula su distancia.
8. Distancia entre rectas de la familia \(x - 3y + k = 0\) con \(k_1 = 2\) y \(k_2 = 8\).

Concepto: El área de un polígono con vértices dados por coordenadas \((x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n)\) se calcula mediante la fórmula del determinante: $$\text{Área} = \frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n}(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|,$$ donde \((x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)\).

Formulación matemática

• Para un triángulo con vértices \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\), \(C(x_3,y_3)\): $$\text{Área} = \frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|.$$
• Los vértices deben listarse en orden consecutivo (horario o antihorario).
• El resultado siempre es positivo debido al valor absoluto.
• La fórmula funciona para cualquier polígono simple (sin auto-intersecciones).

Ejercicios resueltos (3)

1. Ejemplo 1: Calcular el área del triángulo con vértices:

   $$A(1,2), \quad B(4,6), \quad C(7,2).$$

   Solución:

   Aplicamos la fórmula para triángulos:

   $$\text{Área} = \frac{1}{2}|1(6-2) + 4(2-2) + 7(2-6)| = \frac{1}{2}|4 + 0 - 28| = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12.$$

2. Ejemplo 2: Área del cuadrilátero con vértices \(P(0,0)\), \(Q(3,0)\), \(R(3,2)\), \(S(0,2)\).

   Solución:

   Usando la fórmula general para 4 vértices:

   $$\text{Área} = \frac{1}{2}|0 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 3 \cdot 2 - 3 \cdot 0 + 3 \cdot 2 - 0 \cdot 2 + 0 \cdot 0 - 0 \cdot 2|$$ $$= \frac{1}{2}|0 + 6 + 6 + 0| = 6.$$

3. Ejemplo 3: Área del pentágono con vértices \(A(1,1)\), \(B(3,1)\), \(C(4,3)\), \(D(2,4)\), \(E(0,3)\).

   Solución:

   Aplicamos la fórmula paso a paso:

   $$\text{Área} = \frac{1}{2}|1 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 3 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot 4 - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 - 0 \cdot 4 + 0 \cdot 1 - 1 \cdot 3|$$ $$= \frac{1}{2}|1 - 3 + 9 - 4 + 16 - 6 + 6 - 0 + 0 - 3| = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8.$$

Ejercicios propuestos (8)

1. Área del triángulo con vértices \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(2,3)\).
2. Área del cuadrado con vértices \((0,0)\), \((2,0)\), \((2,2)\), \((0,2)\).
3. Área del triángulo \(P(-1,2)\), \(Q(3,1)\), \(R(1,4)\).
4. Verifica que el área del paralelogramo \((0,0)\), \((3,1)\), \((4,4)\), \((1,3)\) es 9.
5. Área del hexágono regular inscrito en un círculo de radio 2 centrado en el origen.
6. Calcula el área entre los puntos \((1,1)\), \((4,2)\), \((3,5)\), \((0,4)\) en ese orden.
7. Demuestra que cambiar el orden de los vértices no afecta el área (solo el signo antes del valor absoluto).
8. Encuentra el área del triángulo con un vértice en \((a,b)\) y los otros dos en \((0,0)\) y \((c,0)\).

Concepto: Las transformaciones de coordenadas permiten cambiar el sistema de referencia mediante traslación (cambio de origen) y rotación (cambio de orientación). Para traslación con nuevo origen en \((h,k)\): $$x = x' + h, \quad y = y' + k,$$ y para rotación con ángulo \(\theta\): $$x = x'\cos\theta - y'\sin\theta, \quad y = x'\sin\theta + y'\cos\theta.$$

Formulación matemática

• Traslación: Desplaza el origen sin cambiar la orientación de los ejes.
• Rotación: Gira los ejes un ángulo \(\theta\) alrededor del origen.
• Transformación inversa: \(x' = x - h\), \(y' = y - k\) para traslación.
• Combinación: Se puede aplicar traslación y rotación sucesivamente.

Ejercicios resueltos (3)

1. Ejemplo 1: Trasladar el sistema de coordenadas con nuevo origen en \((2,3)\). Encontrar las nuevas coordenadas del punto \(P(5,7)\).

   Solución:

   Las fórmulas de transformación inversa son:

   $$x' = x - h = 5 - 2 = 3,$$ $$y' = y - k = 7 - 3 = 4.$$

   En el nuevo sistema: \(P'(3,4)\).

2. Ejemplo 2: Rotar los ejes \(45°\) en sentido antihorario. Encontrar las nuevas coordenadas del punto \(Q(4,0)\).

   Solución:

   Con \(\theta = 45°\), las fórmulas inversas son:

   $$x' = x\cos\theta + y\sin\theta = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83,$$ $$y' = -x\sin\theta + y\cos\theta = -4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2} \approx -2.83.$$

3. Ejemplo 3: Transformar la ecuación \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\) mediante traslación a \((2,3)\).

   Solución:

   Completando cuadrados: \((x-2)^2 + (y-3)^2 = 4\), circunferencia centrada en \((2,3)\) con radio 2.

   Tras trasladar el origen a \((2,3)\): \(x'^2 + y'^2 = 4\).

Ejercicios propuestos (8)

1. Nuevas coordenadas de \(A(7,5)\) tras trasladar el origen a \((3,2)\).
2. Coordenadas de \(B(3,3)\) después de rotar los ejes \(30°\) antihorario.
3. Transforma \(y = x^2 - 4x + 7\) trasladando el origen a \((2,3)\).
4. Ecuación de la recta \(y = 2x + 1\) tras rotación de \(90°\).
5. Simplifica \(x^2 + y^2 + 6x - 8y + 21 = 0\) con traslación apropiada.
6. Coordenadas del punto \((1,1)\) tras traslación a \((-2,3)\) y posterior rotación de \(60°\).
7. Encuentra el centro y radio de \((x-1)^2 + (y+2)^2 = 9\) en sistema con origen en \((1,-2)\).
8. Demuestra que las distancias se preservan bajo rotación de ejes.